【34170】 【 安徽大学2008-2009学年第二学期高等数学A期末考试试卷与答案】 填空题 累次积分 $\int_0^2 d x \int_{x^2}^{2 x} f(x, y) d y$ 交换积分次序后为

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【34169】 【 安徽大学2008-2009学年第二学期高等数学A期末考试试卷与答案】 填空题 设 $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$

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【34168】 【 安徽大学2008-2009学年第二学期高等数学A期末考试试卷与答案】 填空题 过点 $(1,2,3)$ 且与直线 $\frac{x-3}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ 平行的直线方程为

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【34167】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0 .\end{array}\right.$令 $Z=g(X)= \begin{cases}X, & X<0, \\ X^2, & 0 \leqslant X \leqslant 1, \\ X, & X>1 .\end{cases}$ （I）求 $Z$ 的概率密度；（II）求期望 $\mathrm{E} Z$ ．

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【34166】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & a \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 相似， $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关的解， $\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)$ 的一个解． （I）求 $\boldsymbol{A}$ ；（II）求 $a, b$ ；（III）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{A}$ ．

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【34165】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ． （I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ； （II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．

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【34164】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设 $\Sigma$ 是球心在原点，半径为 $t$ 的球面，取外侧，函数 $f(u)$ 可导，且 $f(0)=1$ ，若 $$ I(t)=\oint_{\Sigma} x f(y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y f(z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, $$ 计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{I(t)}{\pi t^3}$ ．

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【34163】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1>0, a_n=\arctan \left(a_n+\tan a_{n+1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，证明： （I）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（II）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；（III）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^2}$ 收敛。

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【34162】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 解答题 设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$

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【34161】 【 2025-2026合工大全国硕士研究生入学考试(数学一)模拟试卷卷六(押题版)】 填空题 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 3个小于 $\frac{1}{2}$ 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数，则期望 $E Y=$ $\_\_\_\_$ ．

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