设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & a \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 相似， $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关的解， $\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)$ 的一个解．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ ；（II）求 $a, b$ ；（III）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{A}$ ．