单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
（1）设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则下列命题正确的个数为（ ）。
（1）$|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（2）$f(|x|)$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（3）$f(x)\left|x-x_0\right|$ 在点 $x_0$ 处一定可导；
（4） $\cos |f(x)|$ 在点 $x_0$ 处一定可导．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列函数中，点 $x=0$ 是可去间断点的是（ ）。
（1）$f(x)=\frac{\ln |x|}{\cot x}$ ；
（2）$f(x)=\frac{\mathrm{d}\left(\int_{-1}^x g(t) \mathrm{d} t\right)}{\mathrm{d} x}$ ，其中 $g(t)= \begin{cases}1, & t \neq 0, \\ 0, & t=0 ;\end{cases}$
（3）$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n} \ln \left(1+n \mathrm{e}^{n x}\right)+\frac{\sin x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{2 n x}}\right]$ ．
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （2）（3）
$\text{C.}$ （1）（3）
$\text{D.}$ （1）（2）（3）
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ ，则
$\text{A.}$ $(0,0)$ 是函数 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right)$ 的极小值点
$\text{B.}$ $(0,0)$ 是函数 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right)$ 的极大值点
$\text{C.}$ $(0,0)$ 不是函数 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right)$ 的极值点
$\text{D.}$ 无法判断 $(0,0)$ 是否为函数 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right)$ 的极值点
关于级数的敛散性，下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛的充分必要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2, \sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 均收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛的充分必要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2, \sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 均收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|u_n\right|+\left|v_n\right|\right)$ 发散的充分必要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散或 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|v_n\right|$ 发散
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 发散的充分必要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均发散
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $n$ 为偶数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解
$\text{B.}$ $n$ 为偶数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解
$\text{C.}$ $n$ 为奇数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解
$\text{D.}$ $n$ 为奇数时，方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}$ 有 3 个互异的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3$ ，若 $\|\boldsymbol{x}\|=1, \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_3=\mathbf{0}$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的最小值为（ ）。
$\text{A.}$ $\min \left\{\lambda_1, \lambda_2\right\}$
$\text{B.}$ $\min \left\{\lambda_1, \lambda_3\right\}$
$\text{C.}$ $\min \left\{\lambda_2, \lambda_3\right\}$
$\text{D.}$ $\min \left\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\right\}$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-1,-2,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(1,-1,2)^{\mathrm{T}}$ 是三维向量空间 $R^3$ 的两组基，向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 在这两组基下有相同坐标，则 $\boldsymbol{\gamma}$ 为（）．
$\text{A.}$ $(3,0,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,0,-3)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,-3,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(3,-1,0)^{\mathrm{T}}$
以下 4 个结论：
（1）设 $0 < \mathrm{P}(A) < 1, \mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相互独立；
（2）设 $A, B$ 相互独立， $\mathrm{P}(C)=0$ ，则 $\bar{A}, \bar{B}, \bar{C}$ 必相互独立；
（3）若 $A, B$ 互不相容， $\mathrm{P}(C)>0$ ，则 $\mathrm{P}(\overline{A B} \mid C)=1$ ；
（4）若 $A, B, C$ 相互独立，则必有 $A$ 和 $B-C$ 独立．
正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设盒中装有 $2^n$ 张卡片，依次给每张卡片编号，其中 $C_n^i$ 张标以号码 $i, i=0,1, \cdots, n$ ，现从中有放回地抽取 100 张，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，当 $n=16$ 时，利用中心极限定理计算号码数之和 $X$ 大于 850 的近似值为（ ）。
$\text{A.}$ $\Phi\left(\frac{5}{2}\right)$
$\text{B.}$ $1-\Phi\left(\frac{5}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\Phi\left(\frac{1}{8}\right)$
$\text{D.}$ $1-\Phi\left(\frac{1}{8}\right)$
设 $\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为来自二维正态总体 $N\left(\theta, \theta ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; 0\right)$ 的简单随机样本， $\sigma_1^2>0, \sigma_2^2>0$ 已知，$\theta$ 未知，设 $\hat{\theta}=a \bar{X}+b \bar{Y}$ 为 $\theta$ 的估计量，其中 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, a, b$ 为常数，当 $E \hat{\theta}=\theta$ 时，$D \hat{\theta}$ 的最小值为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\sigma_1^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{B.}$ $\frac{\sigma_2^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 内连续，且满足 $2 x f\left(x^2\right)=f(x)+\frac{1}{x}$ ，则 $\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=-\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ，若
$$
g(x, y)=f\left(x^2+y, x+y^2\right)-f(x, y),
$$
则 $\left.\mathrm{d} g\right|_{(0,0)}=$
二次积分 $I=\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{-1}^x\left[\cos \left(y^2\right)+x^2 \sin (x+y)\right] \mathrm{d} y+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^1\left[\cos \left(y^2\right)+x^2 \sin (x+y)\right] \mathrm{d} y =$
设 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(x)-\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=2 \sin x$ ，则 $f(x)=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{A}^{-1}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，则满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E})+\boldsymbol{E}$ 的方阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 3个小于 $\frac{1}{2}$ 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数，则期望 $E Y=$ $\_\_\_\_$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1>0, a_n=\arctan \left(a_n+\tan a_{n+1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，证明：
（I）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（II）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；（III）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^2}$ 收敛。
设 $\Sigma$ 是球心在原点，半径为 $t$ 的球面，取外侧，函数 $f(u)$ 可导，且 $f(0)=1$ ，若
$$
I(t)=\oint_{\Sigma} x f(y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y f(z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{I(t)}{\pi t^3}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & a \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 相似， $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关的解， $\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)$ 的一个解．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ ；（II）求 $a, b$ ；（III）求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{A}$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-2 x}, & x>0 .\end{array}\right.$令 $Z=g(X)= \begin{cases}X, & X < 0, \\ X^2, & 0 \leqslant X \leqslant 1, \\ X, & X>1 .\end{cases}$
（I）求 $Z$ 的概率密度；（II）求期望 $\mathrm{E} Z$ ．