【35417】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 证明题 设连续型随机变量 $X$ 的一切可能取值在 $(-9,11)$ 内，其密度函数为 $f(x)$ ．证明： $$ D(X) \leqslant 100 . $$

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【35416】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 从一批灯泡中随机抽取 10 个灯泡进行寿命测试，得样本均值 $\bar{x}=2900$（单位：h），标准差 $s=225$ ．设灯泡寿命 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 未知，以 $\alpha=0.1$ 检验水平作如下检验： （1）整批灯泡的平均使用寿命是否大于 3 000？ （2）整批灯泡的使用寿命的标准差是否为 230 ？

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【35415】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体的一个样本．求常数 $k$ ，使得 $k \sum_{i=1}^n\left|X_i-\bar{X}\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计。

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【35414】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 设总体 $X \sim f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & x \in[0,1] \\ 0, & x \notin[0,1]\end{array} \quad(\theta>0\right.$ 未知 $),\left(X_1\right.$, $X_2, \cdots, X_n$ ）为来自总体的一个样本．求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量．

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【35413】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 某商厦出售某种品牌奢侈品，根据以往的经验，该奢侈品每周销售量服从 参数为 1 的泊松分布．假设各周的销售量是相互独立的．用中心极限定理计算该商厦一年内（ 52 周）售出该奢侈品件数在 50 件至 70 件之间的概率．

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【35412】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度 $$ f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2 x-y}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ 求：随机变量 $Z=\max \{X, Y\}$ 的 $E(Z)$ 。

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【35411】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 解答题 甲、乙、丙 3 位同学同时独立参加数学考试，不及格的概率分别为 0.4 ， $0.3,0.5$ ． （1）求恰有 2 位同学不及格的概率； （2）如果已经知道这 3 位同学中有 2 位不及格，求其中 1 位是乙同学的概率．

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【35410】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 单选题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 未知参数，$\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体的一个样本．$S^2$ 为样本方差，对假设检验 $H_0: \sigma^2=2^2 ; H_1: \sigma^2<2^2$ ，检验水平 $\alpha$ 的拒绝域是 ．

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【35409】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 单选题 设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立并且服从同一分布，其中 $\sigma^2>0, \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则 ．

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【35408】 【 2010-2011上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷】 单选题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}$ 为样本 $\left(X_1, X_2\right)$ 的均值，则下列 $\mu$ 的无偏估计中最有效的是

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