【35879】 【 上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷第2套】 填空题 设假设检验中犯第一类错误的概率为 $\alpha$ ，犯第二类错误的概率为 $\beta$ ．为了同时减少 $\alpha$ 和 $\beta$ ，那么只有

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【35878】 【 上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷第2套】 填空题 已知二维随机变量 $(X, Y) \sim N(1,2 ; 2,4 ; 0)$ ，设随机变量 $Z=2 X+Y-$ 3 ，则 $Z$ 的密度函数 $f_Z(z)=$

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【35877】 【 上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷第2套】 填空题 将红、黄、蓝 3 个球随机地放人 4 个盒子，若每个盒子容纳球数不限，则有 3个盒子各放一个球的概率 $p=$

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【35876】 【 上海交通大学《概率论与数理统计》期末考试试卷第2套】 填空题 设 $A, B, C$ 为三个随机事件，表示事件 $D=\{A, B, C$ 中不多于一个发生 $\}=$

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【35875】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 证明题 设向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示，且 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性无关．证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 等价．

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【35874】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 证明题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是欧氏空间 $V$ 的标准正交基，证明： $$ \begin{gathered} \boldsymbol{\beta}_1=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3\right), \\ \boldsymbol{\beta}_3=\frac{1}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-2 \boldsymbol{\alpha}_3\right) \end{gathered} $$ 也是 $V$ 的标准正交基．

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【35873】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 解答题 已知四维实向量空间 $z^4$ 中的向量组 $$ \begin{gathered} \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] ; \\ \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ a \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2-a \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_4=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] . \end{gathered} $$ 试求：（1）常数 $a$ 的值，使 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的基； （2）由 $\mathbb{R}^i$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

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【35872】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 解答题 设线性方程组为 $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_2+x_3+3 x_4 & =0, \\ 2 x_1+x_2+3 x_3+5 x_4 & =1, \\ 3 x_1+2 x_2+a x_3+7 x_4 & =1, \\ x_1-x_2+3 x_3-x_4 & =b . \end{aligned}\right. $$ （1）问：$a, b$ 取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ （2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．

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【35871】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 解答题 已知实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 \lambda x_2 x_3 \quad(\lambda>0), $$ 经过正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ，化为标准形 $y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ．求实参数 $\lambda$ 以及正交矩阵 $Q$ 。

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【35870】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案(第二套)】 解答题 设非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} 2 x_1+x_2+a_3 x_3+a_4 x_4 & =d_1, \\ x_1-2 x_2+b_3 x_3+b_4 x_4 & =d_2, \\ c_1 x_1+c_2 x_2+2 x_3-3 x_4 & =d_3 \end{aligned}\right. $$ 有 3 个解向量 $$ \boldsymbol{\eta}_1=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\eta}_2=\left[\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\eta}_3=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right] . $$ 求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解，其中 $a_{i-2}, b_{i-2}, c_i, d_j$ 为常数 $(i= 1,2 ; j=1,2,3)$ 。

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