设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是欧氏空间 $V$ 的标准正交基，证明：

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{\beta}_1=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{3}\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3\right), \\
\boldsymbol{\beta}_3=\frac{1}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-2 \boldsymbol{\alpha}_3\right)
\end{gathered}
$$

也是 $V$ 的标准正交基．