【36049】 【 独立事件的乘法公式】 单选题 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_1, p_2, p_3$ ，且 $p_3>p_2>p_1>0$ 。记该棋手连胜两盘的概率为 $p$ ，则

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【36048】 【 独立事件的乘法公式】 单选题 甲箱中有 2 个白球和 1 个黑球，乙箱中有 1 个白球和 2 个黑球。现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球。假设事件 $A=$＂从乙箱中取出的两球都是白球＂，$B=$＂从乙箱中取出的两球都是黑球＂，$C=$＂从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球＂，其对应的概率分别为 $P(A), P(B), P(C)$ ，则

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【36047】 【 独立事件的乘法公式】 单选题 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为＂三局两胜＂制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为

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【36046】 【 独立事件的乘法公式】 单选题 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包。已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过 1 元的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，则这三人中至少有两人抢到的红包超过 1 元的概率为

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【36045】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图 （从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为 80 cm ，小圆的半径为 20 cm ，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． （1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为 $l_1$ ，图3 的功能值记为 $l_2$ ． ① 判断大小：$l_1$ $\_\_\_\_$ $l_2$（填＂$>$＂，＂$=$＂，＂$<$＂）； ② 求 $l_2$ 的大小； （2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域。例如，若矩形 $A B C D$ 能把图2完全覆盖，且边 $A B$ 是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形 $A B C D$ 为图2的其中一个占地区域（如图4所示）。 ① 请通过运算说明图4中的矩形 $A B C D$ 不能是图3的占地区域； ② 在图4中的矩形 $A B C D$ 中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分）。 [img=/uploads/2026-01/0ed343.jpg][/img]

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【36044】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, D$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，点 $E$ 在 $D C$ 的延长线上，$D E=D A$ ，连接 $A E$ ，过点 $E$ 作 $E F \perp A D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ，且 $G E=G B$ ． （1）当 $D$ 是 $B E$ 中点时，如图1，求 $\angle B$ 的度数； （2）当 $A C=2 C E$ 时，如图2． ① 求 $\frac{A C}{C D}$ 的值； ② 若 $A G=5$ ，求 $B D$ 的长． [img=/uploads/2026-01/f52319.jpg][/img]

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【36043】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为 $1 m$ 的圆柱形水泥管道内踢球。某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点 $O$ ，以过 $O$ 点的直径所在的直线为 $y$ 轴，过点 $O$ 垂直于 $y$ 轴的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。已知小球从管壁脱离时球心 $A$ 的坐标为 $\left(-\frac{5}{6}, \frac{4}{3}\right)$ ，小球球心经过的最高点坐标为 $\left(-\frac{7}{12}, \frac{3}{2}\right)$ ． （1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到 $x$ 轴所在的水平线距离为 $\frac{16}{27} m$ ，求书包开口中心处的坐标． [img=/uploads/2026-01/336e86.jpg][/img]

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【36042】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 已知锐角三角形 $A B C$ 内接于 $\odot O, D$ 为 $B C$ 上一点，$E$ 为 $\hat{B C}$ 上一点，连接 $A D, A E, B E, \triangle A B F$ 与 $\triangle A B E$ 关于直线 $A B$ 对称，且 $\angle B A F=\angle C A D$ ． （1）当 $A D \perp B C$ 时，如图1，求证：$A E$ 为 $\odot O$ 的直径； （2）当 $B F$ 为 $\odot O$ 的切线时，如图 2 ，求证：$A C=A D$ ． [img=/uploads/2026-01/dc08dd.jpg][/img]

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【36041】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 2024世界航海装备大会，以＂承载人类梦想驶向星辰大海＂为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了 $A, B$ ， $C, D$ 四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． （1）求甲同学参加 $A$ 赛道的概率； （2）求甲，乙两名同学至少有一人参加 $A$ 赛道的概率．

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【36040】 【 2024-2025学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷】 解答题 已知 $\triangle A B C$ 与 $\triangle C B D$ 相似，点 $A, B, C$ 分别对应于点 $C, B, D$ ，其中 $A B=\sqrt{2}, B C=2 \sqrt{2}$ ， $A C=\sqrt{10}$. （1）求 $C D$ 的长； （2）如图，将 $\triangle A B C$ 放置在 $7 \times 6$ 的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，$\triangle A B C$ 的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出 $\triangle C B D$（仅用无刻度直尺画图，并标明点 $D$ 的位置）。 [img=/uploads/2026-01/64e934.jpg][/img]

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