【36077】 【 2025-2026《高等数学上》期末考试模拟试卷】 填空题 定积分 $\int_{-1}^1 \frac{2+x \cos x}{\sqrt{4-x^2}} d x=$

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【36076】 【 2025-2026《高等数学上》期末考试模拟试卷】 填空题 反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+2 x+2} d x=$

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【36075】 【 2025-2026《高等数学上》期末考试模拟试卷】 填空题 设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(x^2\right)$ ，则 $d y=$

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【36074】 【 2025-2026《高等数学上》期末考试模拟试卷】 填空题 极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-x \sin \frac{2}{x}\right)=$

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【36073】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 内二阶可导，且存在 $c \in(a, b)$ 满足 $f(a)=f(c) =f(b)=0$ ．证明： （1）存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ 且 $\xi_1<\xi_2$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)-f\left(\xi_1\right)=f^{\prime}\left(\xi_2\right)-f\left(\xi_2\right)=0$ ； （2）存在 $\eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ．

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【36072】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 求方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解．

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【36071】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 设 $D$ 是曲线 $f(x)=4-x^2(0 \leq x \leq 2)$ 和该曲线段上点 $(a, f(a))(0 \leq a \leq 2)$ 处的切线，$y$轴与直线 $x=2$ 所围成的图形． （1）求区域 $D$ 的面积． （2）试问 $a$ 取何值时，$D$ 的面积取得最小值，并求此时的面积．

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【36070】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}+\int_x^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]$ ．

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【36069】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 判断函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性

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【36068】 【 《高等数学》第一学期期末考试模拟试卷（十一）及详细参考解答】 解答题 求微分方程 $\frac{2 x}{y} \mathrm{~d} x-\frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} y=0(x>0)$ 满足 $y(1)=1$ 的解．

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