【36117】 【 新东方《概率论里数理统计》参数估计】 解答题 设来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，总体 $X$ 的概率分布 $$ X \sim\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2 \\ 2 \theta & \theta & 1-3 \theta \end{array}\right) $$ 其中 $0<\theta<\frac{1}{3}$ ，求未知参数 $\theta$ 的矩估计量．

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【36116】 【 新东方《概率论里数理统计》参数估计】 解答题 设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(\theta+1) x^\theta, & 0<x<1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, \theta>-1, X_1, X_2, \cdots, X_n\right.$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，求 $\theta$ 的矩估计量及最大似然估计量．

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【36115】 【 新东方《概率论里数理统计》参数估计】 解答题 设总体 $X$ 具有分布律 [img=/uploads/2026-01/0c890b.jpg,width=400px][/img] 其中 $\theta(0<\theta<1)$ 为末知参数．已知取得样本值 $x_1=1, x_2=2, x_3=1$ ，试求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．

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【36114】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设定义域为 $\mathbb{R}^2$ 、值域为区间 $I$ 的二元函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数且处处 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \neq 0$ 。证明：对任意实数 $C \in I$ ，曲线 $f(x, y)=C$ 为直线的充分必要条件是 $$ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2 \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 . $$

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【36113】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且当 $(x, y) \rightarrow(1,0)$ 时， $$ f(x, y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right) $$ 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^2+y^2\right)$ 。证明：$g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取到极值，计算这个极值并判断是极大值还是极小值．

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【36112】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ ． （1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D . $$ 证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数． （2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $$ u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, \quad(x, y) \in D . $$ 验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足 $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D . $$ （3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足 $$ \left\{\begin{array}{l} u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D . \\ u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, x \in(0,+\infty) ; \\ u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, y \in(-\infty,+\infty) . \end{array}\right. $$ 试给出 $u(x, y)$ 的表达式．

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【36111】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设二元函数 $f(x, y)$ 有连续偏导数，$f(1,2)=0$ ， $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right|_{(1,2)}=5$ ，且对任意实数 $t$ 都满足 $f(t x, t y)=t^2 f(x, y)$ ． （1）计算 $\left.\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right|_{(1,2)}$ ； （2）计算极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_0^x\left\{1+f\left(2 t-2 \sin t+1, \sqrt[3]{1+t^3}+1\right)\right\}^{\frac{1}{\ln \left(1+t^3\right)}} \mathrm{d} t $$

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【36110】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 （1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式． （2）计算极限 $$ I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right] $$

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【36109】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[2,4]$ 上连续，在开区间 $(2,4)$ 上可导且导数大于 0 ，极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(2 x-2)}{x-2}$ 存在．证明： （1）$f(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上取值大于 0 ； （2）存在 $\xi \in(2,4)$ ，使得 $$ \frac{6 f(\xi)}{\xi}=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x $$ （3）对上述 $\xi \in(2,4)$ ，存在 $\eta \in(2,4), ~ \eta \neq \xi$ ，使得 $$ 6 f^{\prime}(\eta)=\frac{\xi}{\xi-2} \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x $$

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【36108】 【 2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题】 解答题 设三维空间中四点 $A, B, C, D$ 所形成的三个向量为 $\overrightarrow{A B}=(2, a, 0), \overrightarrow{A C}= (0,-1,2), \overrightarrow{A D}=(2, b, 1)$ ，其中 $a>0, b<\frac{1}{2}$ ．已知 $\overline{A B}, \overline{A C}$ 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 $2 \sqrt{6}, \overline{A B}, \overline{A C}, \overline{A D}$ 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 2 ． （1）求 $a, b$ 的值． （2）求平行于向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 且过点 $(2,3,4)$ 的平面的方程． （3）求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z$ 在点 $(1,2,1)$ 的梯度以及在该点沿 $\overrightarrow{A B}$ 方向的方向导数。

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