【37475】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，已知 $a_2=2, a_4 a_6=2^8$ ，则公比 $q=$

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【37474】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 已知函数 $f(x)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示，则下列说法中正确的是 [img=/uploads/2026-02/5104fc.jpg][/img]

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【37473】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 某大学开设篮球、足球等 5 门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小红 3 位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有

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【37472】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 抛物线 $y=2 x^2$ 的焦点坐标为

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【37471】 【 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学】 解答题 已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}-a \sin x-a \cos x, g(x)=b \sqrt{x^2+1}$ ． （1）证明：当 $a=0$ 时，对于任意 $x>0, f(2 x)>\frac{1}{2} x^2+x+1$ 恒成立； （2）已知 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点， （i）若 $a=0$ ，求 $b$ 的取值范围； （ii）证明：$a^2+b^2>\frac{1}{2}$ ．

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【37470】 【 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m}=(b, c), \vec{n}=\left(\sqrt{3}, 2 \sin \left(A-\frac{\pi}{3}\right)\right)$ 且 $\vec{m} \perp \vec{n}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 上一点． （1）求角 $C$ 的大小； （2）若 $C D$ 是 $\angle A C B$ 的角平分线，$c=9, \triangle A B C$ 的周长为 19 ，求 $C D$ 的长度； （3）若 $D$ 是 $A B$ 上靠近点 $A$ 的一个三等分点，$|\overrightarrow{C D}|=t|\overrightarrow{A D}|$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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【37469】 【 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学】 解答题 已知三次函数 $f(x)=\frac{2}{3} a x^3+\frac{1}{2} b x^2+x, g(x)=f^{\prime}(x)$ ． （1）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值 $\frac{1}{6}$ ，求 $a, b$ ； （2）若 $b=-1, y=g\left(\mathrm{e}^x\right)$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，求 $a$ 的取值范围．

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【37468】 【 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学】 解答题 已知函数 $f(x)=4 \sin x \cdot \cos (x+\varphi)-\sqrt{3} \quad\left(|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}\right), f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$ ． （1）求 $\varphi$ ； （2）求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； （3）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调性．

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【37467】 【 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学】 解答题 记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin 2 C=\sqrt{2} \sin C$ ． （1）求 $C$ ； （2）若 $\cos A=\frac{\sqrt{10}}{10}, c=5$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

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【37466】 【 数列求和综合训练】 解答题 （2023．福建厦门．统考模拟预测）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ． （1）证明 $\left\{\frac{a_n-2}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列； （2）若 $b_n=\frac{3}{a_n+1}$ ，求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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