已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}-a \sin x-a \cos x, g(x)=b \sqrt{x^2+1}$ ．
（1）证明：当 $a=0$ 时，对于任意 $x>0, f(2 x)>\frac{1}{2} x^2+x+1$ 恒成立；
（2）已知 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）若 $a=0$ ，求 $b$ 的取值范围；
（ii）证明：$a^2+b^2>\frac{1}{2}$ ．