【37455】 【 数列求和综合训练】 解答题 （2020•海南•高考真题）已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2+a_4=20, a_3=8$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求 $a_1 a_2-a_2 a_3+\ldots+(-1)^{n-1} a_n a_{n+1}$ ．

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【37454】 【 数列求和综合训练】 解答题 （2021．全国．统考高考真题）记 $S_n$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3=S_5, a_2 a_4=S_4$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 $a_n$ ； （2）求使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值．

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【37453】 【 数列求和综合训练】 解答题 （2022．全国．统考高考真题）记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_n}{n}+n=2 a_n+1$ ． （1）证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列； （2）若 $a_4, a_7, a_9$ 成等比数列，求 $S_n$ 的最小值．

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【37452】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列，$b_1=4, b_3-b_2=48$ ． （I）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （II）记 $c_n=b_{2 n}+\frac{1}{b_n}, n \in N^*$ ， （i）证明 $\left\{c_n^2-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列； （ii）证明 $\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{a_k a_{k+1}}{c_k^2-c_{2 k}}}<2 \sqrt{2}\left(n \in N^*\right)$

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【37451】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4$ ． （1）证明：$a_1=b_1$ ； （2）求集合 $\left\{k \mid b_k=a_m+a_1, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中元素个数．

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【37450】 【 等比数列综合运算(提高版)】 多选题 设正整数 $n=a_0 \cdot 2^0+a_1 \cdot 2+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_k \cdot 2^k$ ，其中 $a_i \in\{0,1\}$ ，记 $\omega(n)=a_0+a_1+...+a_k$ ．则

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【37449】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n$ 与 $-4 n$ 的等差中项为 $S_n-a_n$ ． （1）证明：数列 $\left\{a_n+2\right\}$ 是等比数列； （2）设 $b_n=\log _3 \frac{a_n+2}{2}$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{b_1}\right)\left(1+\frac{1}{b_3}\right)\left(1+\frac{1}{b_5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{b_{2 n-1}}\right)>\sqrt{b_{2 n+1}}$ ．

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【37448】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_7=8 a_4$ ，且 $\frac{1}{2} a_2, a_3-4, a_4-12$ 成等差数列． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=(-1)^n \log _2 a_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求满足 $\left|T_k\right|=20$ 的 $k$ 的值．

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【37447】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}, a_1=2, \frac{1}{b_n}-\frac{1}{a_n}=1, a_{n+1}=2 b_n$ ． （1）求证数列 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\left\{\frac{n}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37446】 【 等比数列综合运算(提高版)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ． （1）若 $S_1=2, S_{n+1}=2 S_n+2$ ，证明：$S_n=a_{n+1}-2$ ； （2）在（1）的条件下，若 $b_n=\log _2 a_n$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证 $\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+\cdots+\frac{1}{T_n}<2$

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