【30757】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设 $f(x), g(x)$ 具有二阶连续导数，$\oint_C\left[y^2 f(x)+2 y e ^x+2 y g(x)\right] d x+2[y g(x)+ f(x)] d y=0$ ，其中 $C$ 为平面上任一简单封闭曲线． （I）求 $f(x), g(x)$ ，使 $f(0)=g(0)=0$ ； （II）计算沿任一条曲线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的积分．

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【30756】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）设 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，分别求满足下列各条件的函数 $f(x)$ ． （I）矢量函数 $A =\left[x e ^x+f(x)\right] y i +f(x) j$ 是某个单值函数 $u(x, y)$ 的梯度，且 $f(0)=0$ ． （II）设 $l$ 为与直线 $y= \pm x$ 不相交的任意闭曲线，且 $f(1)=0$ ， $$ \oint_l\left[2 y-y f\left(x^2-y^2\right)\right] d x+x f\left(x^2-y^2\right) d y=0 $$ （III）设 $l$ 为 $x>0$ 的右半平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条分段光滑曲线，且 $I= \int_l \frac{f(y) d x+2 x y d y}{2 x^2+y^4}$ 与路径无关．

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【30755】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）设 $\Sigma$ 为上半球面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧，连续函数 $f(x, y)=2 x y^2+x^2+\iint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+\left[z f(x, y)+z^3+1\right] d x d y$ ，求 $f(x, y)$ 。 （2）已知点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(1,1,1), \Sigma$ 是由 $A B$ 绕 $O z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 $z=0$ 与 $z=1$ 之间部分的外侧，函数 $f(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，计算 $$ I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)-2 x] d y d z+\left[y^2-y f(x y)\right] d z d x+(z+1)^2 d x d y . $$

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【30754】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 设一企业生产某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的弹性 $\eta=2 P^2$ ，而市场对该产品的最大需求量为 1 （万件），该产品的生产成本为 $\frac{1}{2} Q+1$ ． （1）求需求函数． （2）当 $P \rightarrow+\infty$ 时需求量是否趋于稳定？ （3）设该产品的产量等于需求量，求企业获得最大利润时的需求量．

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【30753】 【 杨超《考前必做100》道题目-26-50题】 解答题 设函数 $u(x)=\frac{1}{x^2-3 x-4}$ ． （1）将 $u(x)$ 展开为 $x-1$ 的幂级数； （2）判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{(n)}(1)}{n!}$ 的敛散性．

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【30752】 【 杨超《考前必做100》道题目-26-50题】 解答题 设 $f(x)=\left( e ^{x^2}-1\right) x^{-2}$ ． （1）求 $\int f(x) d x$ ； （2）将 $f^{\prime}(x)$ 展开为麦克劳林级数，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ 的和值．

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【30751】 【 随机抽样的方法、用样本估计总体】 多选题 气象意义上从春季进入夏季的标志为＂当且仅当连续 5 天每天日平均温度不低于 $22^{\circ} C$＂．现有甲、乙、丙三地连续 5 天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位 ${ }^{\circ} C$ ）且满足以下条件： 甲地： 5 个数据的中位数是 24 ，众数是 22 ； 乙地： 5 个数据的中位数是 27 ，平均数是 24 ； 丙地： 5 个数据有 1 个是 30 ，平均数是 24 ，方差是 9.6 ； 根据以上数据，下列统计结论正确的是（ ）

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【30750】 【 随机抽样的方法、用样本估计总体】 多选题 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有 100 名学生参赛，经过评判，这 100 名参赛者的得分都在［ 40,90 ］内，得分 60 分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成$[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]$ 这五组），则下列结论正确的是（ ） [img=/uploads/2025-08/2f81da.jpg][/img]

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【30749】 【 随机抽样的方法、用样本估计总体】 多选题 某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取 150 名同学参加数学史知识测试，测试题共 5 道，每答对一题得 20 分，答错得 0 分．得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ） [img=/uploads/2025-08/0e03e3.jpg][/img]

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【30748】 【 随机抽样的方法、用样本估计总体】 单选题 为了增强大学生的环保意识，加强对＂碳中和＂概念的宣传，某公益组织分别在 $A, B$ 两所大学随机选取 10 名学生进行环保问题测试（满分 100 分），这 20 名学生得分的折线图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（ ） [img=/uploads/2025-08/42f366.jpg][/img]

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