【30727】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $z=z(x, y)$ 存在二阶连续的偏导数，且 $z(x, y) \neq 0$ ，证明：$z(x, y)= f(x) g(y)$ 的充分必要条件是 $z(x, y) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}$ ．

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【30726】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 试求函数 $f(x, y)=1-6 x+3 y+4 x^2+18\left|x^2+y^2-4\right|$ 在平面区域 $\sigma=\{(x$ ， y） $\left.\mid x^2+y^2 \leqslant 9\right\}$ 上的平均值．

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【30725】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设函数 $f(x, y)$ 可微，$\frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，且 满 足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{f\left(0, y+\frac{1}{n}\right)}{f(0, y)}\right]^n= e ^{\cot y}$ ，求 $f(x, y)$ ．

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【30724】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设一薄板平面区域 $\sigma$ 由 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 组成，其中，$\sigma_1=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant a-x, 0 \leqslant x \leqslant a\}, \sigma_2=\{(x, y) \mid a \leqslant x+y \leqslant b$ ， $x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，如图 1－1 所示．它的面密度 $$ \mu(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & (x, y) \in \sigma_1, \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \in \sigma_2 .\end{cases} $$ 试求： （1）该薄板 $\sigma$ 的质量 $m$ ； （2）薄板 $\sigma_1$ 关于 $y$ 轴的转动惯量 $J_1$ 与 $\sigma_2$ 关于原点的转动惯量 $J_2$ ． [img=/uploads/2025-08/e8a4ba.jpg][/img]

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【30723】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设存在二元函数 $g(x, y)=f\left( e ^{x y}, x^2+y^2\right)$ ，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+x+y-1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=0$ ，证明：$g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取极值，并求出其极值．

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【30722】 【 因式分解】 解答题 求方程 $x-y=x y$ 的整数解．

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【30721】 【 因式分解】 解答题 已知长方形的长、宽分别为 $x, y$ ，周长为 16 厘米，且满足 $x-y-x^2+2 x y-y^2+2=0$ ，求长方形的面积．

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【30720】 【 因式分解】 解答题 已知 $0<a \leqslant 5$ ，且 $a$ 为整数，若 $2 x^2+3 x+a$ 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 $a$

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【30719】 【 因式分解】 解答题 两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数．

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【30718】 【 因式分解】 解答题 不解方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\ 5 x-3 y=-2\end{array}\right.$ ，求代数式 $(2 x+y)(2 x-3 y)+3 x(2 x+y)$ 的值．

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