【30767】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列 4 个命题 （1）若 $r( A )=m$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 必有解； （2）若 $r( A )=m$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解； （3）若 $r( A )=n$ ，则非齐次线性方程组 $A x = b$ 有唯一解； （4）若 $r( A )=n$ ，则齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解中正确的是

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【30766】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -a-1 \\ 2 & a & -2\end{array}\right)$ ．当 $a$ 为何值时，方程 $X A = B$无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时，求此方程．

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【30765】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 为实对称矩阵，则下列结论正确的个数是 $\qquad$个． （1）不同特征值对应的特征向量是正交的． （2）所有特征值都是实数，所有特征向量都是实特征向量． （3）必可相似对角化． （4）若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的 $k$ 重特征值，则秩 $r( A -\lambda E )=n-k$ ． （5）矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于矩阵 $A$ 的秩． （6）矩阵 $A$ 的非零特征值个数小于等于 $r( A )$ 。 （7）若矩阵 $A$ 可相似对角化，则矩阵 $A$ 的非零特征值个数等于 $r( A )$ ．

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【30764】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 证明题 已知 $n$ 阶矩阵 $A = \alpha \beta ^{ T }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 为 $n$ 维非零列向量． （1）证明：矩阵 $A$ 的秩 $r( A )=1$ ． （2）证明：矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}( A )= \alpha ^{ T } \beta = \beta ^{ T } \alpha$ ． （3）证明： $A ^n=[\operatorname{tr}( A )]^{n-1} \cdot A$ ． （4）证明： $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\operatorname{tr}( A ), \lambda_2=\lambda_3=\cdots=\lambda_n=0$ ，且 $\lambda_1$ 的特征向量为 $\alpha$ ． （5）证明：若 $\operatorname{tr}( A ) \neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可相似对角化． （6）若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B , r( A )=r( B )=1$ 且 $\operatorname{tr}( A )=\operatorname{tr}( B ) \neq 0$ ，证明： $A$ 与 $B$ 相似．

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【30763】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 设 $\alpha _1=(1,2,0)^{ T }, \alpha _2=(1, a+2,-3 a)^{ T }, \alpha _3=(-1,-b-2, a+2 b)^{ T }$ ， $\beta =(1,3,-3)^{ T } . a, b$ 为何值时： （1） $\beta$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示； （2） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 唯一线性表示，并求出表示式； （3） $\beta$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示，但表示不唯一，并求出表示式．

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【30762】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 已知 $A ^2=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right), A ^5=\left(\begin{array}{ccc}8 & 5 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -32\end{array}\right)$ ，那么矩阵 $A =$ $\qquad$ .

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【30761】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 填空题 已知 $A$ 是 3 阶矩阵， $A$ 是 $A$ 的伴随矩阵，如果矩阵 $A$ 的特征值是 $1,2,3$ ，那么矩阵（ $A ^*$ ）＊的最大特征值是 $\qquad$ ．

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【30760】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$

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【30759】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 解答题 （1）向量场 $u (x, y, z)=\left\{x y^2, y e ^z, x \ln \left(1+z^2\right)\right\}$ 在点 $(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} u =$ $\qquad$ ， rot $u=$ $\qquad$ ． （2）设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定，则其形心坐标是 $\qquad$ ． （3）密度为 1 的旋转抛物体：$x^2+y^2 \leqslant z \leqslant 1$（记为 $\Omega$ ）绕 $z$ 轴的转动惯量 $I=$ $\qquad$ ． （4）二元函数 $f(x, y)= e ^x \sin y$ 在原点 $(0,0)$ 处的一阶泰勒公式为 $\qquad$ ．

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【30758】 【 杨超《考前必做100》道题目-25-50题】 单选题 设 $u=2 x y-z^2$ ，则 $u$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的方向导数的最大值是（ ）．

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