单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
以下关系不成立的是（ ）
$\text{A.}$ 偏导数连续蕴含可微；
$\text{B.}$ 可微蕴含连续；
$\text{C.}$ 偏导数存在蕴含连续；
$\text{D.}$ 可微蕴含偏导数存在．
设 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^x$的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$ ．
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$ ．
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$ ．
设有空间区域 $\Omega_1: x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2, z \geqslant 0$ 及 $\Omega_2: x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ ，则
$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega_1} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_2} x \mathrm{~d} v$ ．
$\text{B.}$ $\iiint_{\Omega_1} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_2} y \mathrm{~d} v$ ．
$\text{C.}$ $\iiint_{\Omega_1} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_2} z \mathrm{~d} v$ ．
$\text{D.}$ $\iiint_{\Omega_1} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_2} x y z \mathrm{~d} v$ ．
设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 条件收敛。
$\text{C.}$ 绝对收敛．
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关．
若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，则下面 4 个结论中错误的为 () ．
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任何方向的方向导数都存在；
$\text{B.}$ 方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)} \cdot l$ ；
$\text{C.}$ 方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 在梯度 $\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 方向取最大值；
$\text{D.}$ $\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 正交于曲线 $f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
计算累次积分 $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{1+x^3} d x$ ．
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} x^n$ 的收敛域为
设函数 $f(y)$ 可微，且 $\int_{L(A)}^{(B)}\left(z^2 f(y)+e^x\right) \mathrm{d} x+\left(x z^2+\cos y\right) \mathrm{d} y+(2 x y z-z) \mathrm{d} z$与路径无关，则 $f(y)=$
设连续二元函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+x-2 y-2}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=0$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,0)}=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e ^{-x} \cos x+ e ^{2 x}(4 x+5)$ 的通解．
设 $A=\iint_S x^2 z d y d z+y^2 z d z d x+x z^2 d x d y$ ，其中 $S$ 是曲面 $a z=x^2+y^2(0 \leq z \leq a)$ 的第一卦限部分上侧，求满足 $f(0)=A, f^{\prime}(0)=-A$ 的二阶可导函数 $f(x)$ ，使得 $y\left(f(x)+3 e^{2 x}\right) d x+f^{\prime}(x) d y$ 是某个二元函数的全微分．
3、已知某工厂生产 $A$ 和 $B$ 两种产品，生产 $x$ 单位的产品 $A$ 和生产 $y$ 单位的产品 $B$的总成本是
$$
C(x, y)=x^3+a y^3+b x y \quad(a, b \text { 是常数 }),
$$
总收入是
$$
R(x, y)=\frac{40 x}{x+5}+\frac{20 y}{y+10}+x^3+y^3-3 x y
$$
点 $P(1,1)$ 是函数 $C(x, y)$ 的极值点，
（1）问点 $P$ 是函数 $C(x, y)$ 的极大值点还是极小值点？
（2）若 $x+y=25$ ，求利润 $L(x, y)$ 的最大值。
设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ ．
（1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$
证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数．
（2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, \quad(x, y) \in D .
$$
验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$
（3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D . \\
u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, x \in(0,+\infty) ; \\
u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, y \in(-\infty,+\infty) .
\end{array}\right.
$$
试给出 $u(x, y)$ 的表达式．