设 $D=(0,+\infty) \times(-\infty,+\infty)$ ．
（1）若定义在 $D$ 上的二元函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$
证明：$u(x, y)=f(x)+g(y),(x, y) \in D$ ，其中 $f(x), g(y)$ 是二阶连续可导的函数．
（2）若定义在区域 $D$ 上的二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}, \quad(x, y) \in D .
$$
验证 $z=\ln u(x, y)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=0,(x, y) \in D .
$$
（3）设二元正值函数 $u=u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数且满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y},(x, y) \in D . \\
u(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, x \in(0,+\infty) ; \\
u(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}}, y \in(-\infty,+\infty) .
\end{array}\right.
$$
试给出 $u(x, y)$ 的表达式．