设 $A=\iint_S x^2 z d y d z+y^2 z d z d x+x z^2 d x d y$ ，其中 $S$ 是曲面 $a z=x^2+y^2(0 \leq z \leq a)$ 的第一卦限部分上侧，求满足 $f(0)=A, f^{\prime}(0)=-A$ 的二阶可导函数 $f(x)$ ，使得 $y\left(f(x)+3 e^{2 x}\right) d x+f^{\prime}(x) d y$ 是某个二元函数的全微分．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$