一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}, x \in(-\infty,+\infty)$, 是
$\text{A.}$ 单调函数
$\text{B.}$ 周期函数
$\text{C.}$ 偶函数
$\text{D.}$ 有界函数
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷大
$\text{B.}$ 无穷小
$\text{C.}$ 有界但非无穷小
$\text{D.}$ 无界但非无穷大
设有下列命题
(1) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ), 则 $x_n$ 有界.
(2) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(3) 数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.
(4) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在 $\Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{n \rightarrow \infty}}{x_n}=1$.
则以上命题中正确的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{B.}$ 若 $\exists \delta>0$ 使得当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A_0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=B_0$ 均 $\exists$, 则 $A_0>B_0$.
$\text{C.}$ 若 $\exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$.
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
$\text{A.}$ $(1+x)^{x^2}-1$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{x^4-2 x}-1$.
$\text{C.}$ $\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t$.
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$.
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \ln x d x$
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{y}{x}=-1$ 的通解为
设 $a>0$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^{a x}} \mathrm{~d} x=$
已知 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{0}=\frac{2 z+1}{\lambda}$ 与 $\pi: x-y+z=0$ 平 行, 则常数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的值为
二次积分 $\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_x^4 \frac{1}{x \ln y} \mathrm{~d} y$ 的值为
求不定积分 $\int x^2 \arctan x d x$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
已知函数 $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x+1}}+a \ln (x+1)$.
(1) 当 $a=2$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 若函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上各有一个零点, 求实数 $a$ 的取值范围.
设 $f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$, 求 $f^{(n)}(x)$, 并证明 $\sum_{n=1} \frac{n !}{f^{(n)}(0)}$ 收敛
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(2 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中曲面 $\Sigma: z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ， 方向取下侧.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
讨求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围成区域的面积.