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函数 $f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}, x \in(-\infty,+\infty)$, 是

$ \text{A.}$ 单调函数 $ \text{B.}$ 周期函数 $ \text{C.}$ 偶函数 $ \text{D.}$ 有界函数

答案：

解析：

方法 1 (直接法): 对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$, 有
$$
f(-x)=|(-x) \sin (-x)| \mathrm{e}^{\cos (-x)}=|x(-\sin x)| \mathrm{e}^{\cos x}=f(x),
$$
故 $f(x)$ 是偶函数, C 正确.

方法 2(间接法): 由 $f(0)=0, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$, 可知 $f(x)$ 不单调递减, 而 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}, f(\pi)=0$, 可知 $f(x)$ 不是单调递增. 排除 A.
对于 B、D 选项.
- 直观感觉: 由于 $|x|$ 的存在, 破坏了周期性与有界性. 排除 B、D.
- 严格推导:
1. 若 $T$ 为 $f(x)$ 的周期, 则 $\forall x$, 存在 $x_0 \in[0, T)$, 使得 $f\left(x_0\right)=f(x)$.
取 $x=2[T \mathrm{e}] \pi+\frac{\pi}{2}$, 则 $f(x)=2[T \mathrm{e}] \pi+\frac{\pi}{2}>T \mathrm{e}$, 但这样的 $x_0$ 并不存在, 这是由于 $f\left(x_0\right) \leqslant T \mathrm{e}$, 排除 $\mathrm{B}$.
2. $\forall M>0$, 存在 $x_0=2[M] \pi+\frac{\pi}{2}$, 使得 $f\left(x_0\right)=2[M] \pi+\frac{\pi}{2}>M$, 故 $f(x)$ 无界, 排除 D.

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