填空题 （共 35 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
$\int_0^1 x \sqrt{1-x} \mathrm{~d} x=$
下列两个积分差是（填写正数负数或者零）:
$$
\int_{-2}^{-1} e^{-x^3} \mathrm{~d} x-\int_{-2}^{-1} e^{x^3} \mathrm{~d} x .
$$
质点以速度 $t \sin \left(t^2\right)$ 米秒作直线运动，则从时刻 $t_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$到 $t_2=\sqrt{\pi}$ 秒内质点所经过的路程等于米.
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^2+1\right)}=$
$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~d} x=$
$\int \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^{\cos 3 x} f(t) \mathrm{d} t\right]=$
$\int x^3 e^{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-2}^2 \frac{x+|x|}{2+x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-1}^1\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 \mathrm{~d} x=$
设 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+c$ ，则 $\int \frac{\mathrm{d} x}{f(x)}=$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(4-x)}}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^2+4 x+8}=$
若 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\int \frac{\ln x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t=$
$\int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$ ，则 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^1 \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+7) \sqrt{x-2}}=$
$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^x+e^{2-x}}=$
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^3+\sin ^2 x\right) \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=0$ ，且其反函数为 $g(x)$. 若 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^2 e^x$ ，求 $f(x)$.
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$成正比，比例常数 $\boldsymbol{K}>0$. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时?
$\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}=$
位于曲线 $y=x e^{-x}(0 \leq x < +\infty)$ 下方， $x$ 轴上方的无界图形的面积是
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则
$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_{-1}^1(|x|+x) e^{-|x|} \mathbf{d} x=$
已知 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2-1}}=$