填空题 （共 35 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{x^2}, & -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ -1, & x \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
$\int_0^1 \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^2\right) \sqrt{1-x^2}}=$
$\int_1^2 \frac{1}{x^3} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$, 则 $\int_2^{2 \sqrt{2}} f(x) \mathrm{d} x=$
已知 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{k|x|} \mathrm{d} x=1$ ，则 $k=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$
$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$ ，则
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_0^2 x \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)=$
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-\infty}^1 \frac{1}{x^2+2 x+5} \mathrm{~d} x=$
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+2 x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$
设 $\int_0^a x e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ，则 $a=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x)$ 连续， $\varphi(x)=\int_0^{x^2} x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $\varphi(1)=1$ ， $\varphi^{\prime}(1)=5$ ，则 $f(1)=$
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且
$$
f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t
$$
则当 $n \geq 2$ 时， $f^{(n)}(0)=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_{-\pi}^\pi\left(\sin ^3 x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right) \mathrm{d} x=$
$\int_5^{+\infty} \frac{1}{x^2-4 x+3} \mathrm{~d} x=$
$\int e^x \arcsin \sqrt{1-e^{2 x}} \mathrm{~d} x=$
已知 $f(x)=x \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
已知 $f(x)=\int_1^x \sqrt{1+t^4} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^1 x^2 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^3+1} \mathrm{~d} x=$
$\int_{\sqrt{5}}^5 \frac{x}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}} \mathrm{d} x=$
$\int_{-\infty}^{+\infty}|x| 3^{-x^2} \mathrm{~d} x=$
已知 $f(t)=\int_1^{t^2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^t \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$
$\int_{\sqrt{5}}^5 \frac{x}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}} \mathrm{d} x=$
定积分 $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 \frac{2 x+3}{x^2-x+1} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^2 \frac{2 x-4}{x^2+2 x+4} \mathrm{~d} x=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^x, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则
$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y-x) \mathrm{d} y=$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=$