填空题 （共 35 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}, & x < 0, \\ \frac{x}{\mathrm{e}^{-x^2}-2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_0^2 f(x-1) \mathrm{d} x=$
累次积分 $I=\int_0^1 d y \int_0^{y^2} y \sin (1-x)^2 d x=$
$\int \frac{\sqrt{3+2 x-x^2}}{(x-1)^2} d x=$
$\int \frac{\ln \left(1-x^2\right)}{2 x^2 \sqrt{1-x^2}} d x=$
设 $f(x)=x^2 \cos 2 x$, 则 $f^{(10)}(0)=$
$\int \frac{(x \sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 x} d x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^4}=$
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| d x=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) d x=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{9 \pi}{4}} x|\sin x+\cos x|^3 d x=$
设 $a_n=\int_1^{+\infty} x^{-\frac{3}{2}} \ln ^n x d x$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{a_n}=$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
已知可导函数 $y=f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上单调递减，其中 $f(1)=\sqrt{3}, f(\sqrt{3})=1$ ，记 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$ 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} r^2(\theta) d \theta-2 \int_1^{\sqrt{3}} f(x) d x=$
已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) d y$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x==$
若函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x+l)=f(x), l>0$ ，则 $\int_{-l}^l f(x) \cos \frac{(2 n+1) \pi x}{l} d x=$
两根均匀细杆 $A B, C D$ 在一条水平线上，已知细杆 $A B$ 长 3 m ，线密度 $\rho_1=4 kg / m ; C D$ 长 6 m ，线密度 $\rho_2=2 kg / m$ ，两根细杆相邻两端点 $B, C$ 距离为 4 m ．有一单位质点位于 $B, C$ 之间，则质点距离端点 $B$ 为 $\qquad$ m ，可使得两根细杆对质点的引力相等．
设 $f(x)$ 为微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^2}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的解，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \int_0^{\frac{1}{n}} e ^{t^2} d t\right)^{n^2+n-\sin n}=$
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=x \sin x$ ，则 $\int_{-\pi}^\pi \frac{f(x) \cos ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt{\frac{3+t^2}{1-t^4}} d t$ ，则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{\sin x}) \sin x d x=$
$\int 2^x \arctan \sqrt{2^x-1} d x=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
设 $x>0$ 时，可微函数 $f(x)$ 及其反函数 $g(x)$ 满足 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}-8\right)$ ，则 $f(x)=$
计算不定积分 $\int \frac{\tan x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ （其中 $a b \neq 0$ ）。
$\int_0^1 x \arcsin (1-x) \mathrm{d} x=$
平面无界区域 $D=\left\{(x, y)\left|\left(1+x^2\right)\right| y \mid \leqslant 1\right\}$ 的面积
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 内连续，且满足 $2 x f\left(x^2\right)=f(x)+\frac{1}{x}$ ，则 $\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt[3]{t-\frac{\pi}{4}} \sin 2 t \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值点为 $x=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
设函数 $f_n(x)=c_n x^{2 n} \mathrm{e}^{-\pi x^2}$ ，且满足 $\int_0^{+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ，其中 $c_n$ 为仅与 $n$ 有关的数．若 $c_0=1$ ，则 $c_4=$
已知 $f(x)$ 是非负的连续函数，且 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为