单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x, y)=1+\frac{x y}{\sqrt{1+y^3}}$, 则积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x$ 的通解为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则 直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:
$\text{A.}$ $L \subset \Pi$
$\text{B.}$ $L / / \Pi$
$\text{C.}$ $L \perp \Pi$
$\text{D.}$ $L$ 与 斜交
设 $D=\left\{(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0\right\}$,令 $I= \iint _{D} \sqrt {x^{2}+y^{2}}dxdy$,$J= \iint _{D} \ln (1+x^{2}+y^{2})dxdy$,$K= \iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy$, 则
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $J < K < I$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
设 $L: y=\sqrt{1-x^2}$ 从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(1,0)$, 则 $\int_L 2 x d y-\sqrt{x^2+y^2} d x=$
$\text{A.}$ $ \pi+2$.
$\text{B.}$ $ \pi-2$.
$\text{C.}$ $-\pi-2$.
$\text{D.}$ $-\pi+2$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数, 其傅里叶级数的和函数为 $s(x), f(x)$ 在 $(-\pi, \pi]$ 内的函数表达式为
$f(x)=\left\{\begin{array}{rr}x & 0 \leq x \leq \pi \\ 0 & -\pi < x < 0\end{array}\right.$, 则 $s(9 \pi)=$
设$z=xyf(x^2+y^2)$，其中$f$连续可导,则$ \frac { \partial z}{ \partial x}- \frac { \partial z}{ \partial y}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $z=2x^2-y^2+2$ 在区域 $D:x^2+4y^2≤4$.上的最小值和最大值为$ \underline { \quad \quad \quad }$.
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
设 $L$ 为连接点 $(1,1)$ 和点 $(4,5)$ 的直线段，则 $\int_L d s=$
计算累次积分 $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{1+x^3} d x$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求解微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^x(1-2 x)$ 。
将 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 所围成的空间闭区域.
计算球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 包含在球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b \leqslant a)$ 内那部分的面积
某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为 $x, y$ 件时, 总成本为 $C(x, y)=100+2 x+3 y+0.01\left(x^2+x y+y^2\right)$ （元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?
设 $u=y f\left(\frac{y}{x}\right)+x g\left(\frac{x}{y}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数, 求 $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
求圆盘 $(x-2)^2+y^2 \leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体的体积．
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求在点 $P(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ ．
设函数 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ ，
（1）求 $f(x, y)$ 的极值；
（2）求 $f(x, y)$ 在圆周 $x^2+y^2=25$ 上的最大、最小值；
（3）求 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大、小值．
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ 的敛散性．