一、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中函数 $f, g$ 具有二阶连续导数, 求 $x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ 的和.
求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的和函数 $s(x)$ 与收敛半径, 并利用 $s(x)$ 计算 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) \cdot 2^{n+1}}$ 的和.
计算曲线积分 $\prod_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$, 其中
$$
L:\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=\frac{9}{2}, \\
x+z=1 .
\end{array}\right.
$$
求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
$$
L: x^2+y^2=x
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的和函数, 并求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 的和
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性, 并指出是条件收敛还是绝对收敛。
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{x y z}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\Omega$ 是由曲面 $\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2 x y$ 围成的区域在第一卦 限部分.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数.
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$