一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知直线 $L_1: \frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{2-c_2}{c_1}$ 与直线 $L_2: \frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$ 相交于一点, 法向量 $a_i=\left[\begin{array}{l}a_i \\ b_i \\ c_i\end{array}\right], i=1,2,3$. 则
$\text{A.}$ $a_1$ 可由 $a_2, a_3$ 线性表示
$\text{B.}$ $a_2$ 可由 $a_1, a_3$ 线性表示
$\text{C.}$ $a_3$ 可由 $a_1, a_2$ 线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, a_3$ 线性无关
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times \times}, \boldsymbol{C}_{n \times s}$ 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$\text{A.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{B.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关
$\text{C.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关
$\text{D.}$ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r(\boldsymbol{A})=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q=\left(\boldsymbol{E}_m \mid \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P A}=\left(\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x=0$ 有零解.
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\alpha_1=(1,1)^T, \alpha_2=(1,0)^T, \beta_1=(2,3)^T$, $\beta_2=(3,1)^T$ 则 $\alpha_1, \alpha_2$ 到 $\beta_1, \beta_2$ 的过渡矩阵为
设 $D_4=\left|\begin{array}{llll}2 & 3 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 6 & 1\end{array}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式为 $A_{i j}$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
证明: 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则有
$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地，当 $A B=O$ 时，有
$r(A)+r(B) \leq n$.