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集合

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 已知直线

y = k x + t

与函数

y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)

的图象恰有两个切点, 设满足条件的

k

所有可能取值中最大的两个值分别为

k_{1}

和

k_{2}

，且

k_{1} > k_{2}

，则（）

A.

\frac{3}{5} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{5}{7}

B.

\frac{7}{5} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{5}{3}

C.

\frac{5}{3} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{3}

D.

\frac{7}{5} < \frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{7}{3}

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2. 若关于

x

的方程

\frac{x}{e^{x}} + \frac{e^{x + 1}}{x + e^{x}} + m = 0

有三个不等的实数解

x_{1}, x_{2}, x_{3}

, 且

x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}

, 其中

m \in R, e = 2.71828 L

为自然对数的底数, 则

{(\frac{x_{1}}{e^{x_{1}}} + 1)}^{2} (\frac{x_{2}}{e^{x_{2}}} + 1) (\frac{x_{3}}{e^{x_{3}}} + 1)

的值为（）

A.

B.

e^{2}

C.

e + 1

D.

(e + 1)^{2}

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3. 已知函数

f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a x (a \in R)

有两个极值点, 则实数

a

的取值范围（）

A.

(- \infty, 1)

B.

(0, 1)

C.

[0, 1]

D.

(1, + \infty)

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

4. 已知函数

f (x) = | \sin x |, g (x) = k x (k > 0)

, 若

f (x)

与

g (x)

图象的公共点个数为

n

, 且这些公共点的横坐标从小到大依次为

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, 则下列说法正确的有 ( )

A.

若

n = 1

, 则

k > 1

B.

若

n = 3

, 则

\frac{2}{\sin 2 x_{3}} = x_{3} + \frac{1}{x_{3}}

C.

若

n = 4

, 则

x_{1} + x_{4} < x_{2} + x_{3}

D.

若

k = \frac{2}{2023 π}

, 则

n = 2024

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5. 已知函数

f (x) = e^{x} - \sin x, x \in R

, 其中 e 为自然对数的底数,

y = f^{'} (x)

为其导函数, 则下列判断正确的是 ( )

A.

f (x)

在

(0, \frac{π}{2})

单调递增

B.

y = f^{'} (x)

在

(- π, 0)

仅有 1 个零点

C.

f (x)

在

(- 2 π, 0)

有 1 个极大值

D.

当

- 4 π ⩽ x ⩽ - 2 π

时，

f^{'} (x), = 1

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三、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 2 & - 2 \\ 2 & 5 & - 4 \\ - 2 & - 4 & 5 \end{array})

.
(1) 求可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = Λ

;
(2) 求正交矩阵

Q

使

Q^{T} A Q = Λ

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