已知函数 $f(x)=|\sin x|, g(x)=k x(k>0)$, 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象的公共点个数为 $n$, 且这些公共点的横坐标从小到大依次为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$, 则下列说法正确的有 ( )
$\text{A.}$ 若 $n=1$, 则 $k>1$
$\text{B.}$ 若 $n=3$, 则 $\frac{2}{\sin 2 x_3}=x_3+\frac{1}{x_3}$
$\text{C.}$ 若 $n=4$, 则 $x_1+x_4 < x_2+x_3$
$\text{D.}$ 若 $k=\frac{2}{2023 \pi}$, 则 $n=2024$