一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_1^2+5 x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2+2 x_2 x_3$, 则对任意的三维向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$, 均有
$\text{A.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right)>0$.
$\text{B.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \geqslant 0$.
$\text{C.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) < 0$.
$\text{D.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \leqslant 0$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_3^2-2 x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a^2 x_2 x_3$, 则二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在可逆线性变换下不可能化为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭圆柱面.
$\text{D.}$ 双曲柱面.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^3+\left(a^5-1\right) \boldsymbol{A}^2+2 a^3 \boldsymbol{A}$ $+a E=O$, 且 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解为
$\text{A.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $k(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
$\text{D.}$ $k(1,-1,1)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_2 x_3$ 经正交变换化为标准形 $f=2 y_1^2+5 y_2^2+$ $b y_3^2$, 则
$\text{A.}$ $a=3, b=1$
$\text{B.}$ $a=3, b=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-3, b=-1$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 的规范形是
$\text{A.}$ $z_1^2+z_2^2+z_3^2$
$\text{B.}$ $z_1^2-z_2^2-z_3^2$
$\text{C.}$ $z_1^2-z_2^2$
$\text{D.}$ $z_1^2$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 椭球面.
$\text{B.}$ 单叶双曲面.
$\text{C.}$ 双叶双曲面.
$\text{D.}$ 柱面.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(a x_1+x_2\right)^2+\left(a x_2+x_3\right)^2+\left(a x_3+x_1\right)^2$ 为正定的, 则 $a$ 满足的条件是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 的矩阵是
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
若实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ 合同, 则二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 , 求常数 $a$ 的取值范围.
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_2=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_3=-\boldsymbol{X}_3$, 其中 $\boldsymbol{X}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$,求(1) $\left|\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}\right|$;
(2)矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{10}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=c x_1^2-\left(b^2+1\right) x_2^2+c x_3^2+2 x_1 x_3$ 可通过可逆线性变换化为 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=\left(2 c^2-1\right) y_1^2+\left(c^2+1\right) y_2^2+\left(c^2-2\right) y_3^2+2\left(c^2+1\right) y_1 y_2-2\left(c^2-2\right) y_1 y_3$. 求可逆线性变换 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Pz}$, 将二次型 $\boldsymbol{g}\left(y_1, y_2, y_3\right)$ 化为规范形.
用配方法将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-3 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 化为规范形, 并写出变换矩阵.
利用正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$,把二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 x_1 x_2$ 化为标准形.
(1) 证明: 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 的秩等于矩阵
$A$ 非零特征值的个数，其中 $A$ 为实对称矩阵，且
$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T .
$$
(2) 化二次型 $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 为标准形，其中
$$
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$