(1) 证明: 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 的秩等于矩阵
$A$ 非零特征值的个数，其中 $A$ 为实对称矩阵，且
$$
X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T .
$$
(2) 化二次型 $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 为标准形，其中
$$
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$