一、单选题 （共 29 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
设$f(x)$在[-1,1]上二阶可导，且$f''(x)>0,$$\int_{-1}^1f(x) \mathrm{d} x=2$,则
$\text{A.}$ $f(x) < 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(x)\leq1$.
$\text{D.}$ $f(0)>1$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $f^{\prime}(x) < 0$, 则下列结论正确的是
(1) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x < \int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(2) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(3) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \geqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
(4) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
$\text{A.}$ (1) (4).
$\text{B.}$ (2) (3).
$\text{C.}$ (2) (4).
$\text{D.}$ (1) (3).
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=1$ 处条件收敛, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ 存在, 则
$\text{A.}$ $a=1$.
$\text{B.}$ $a=-1$.
$\text{C.}$ $a < 1$
$\text{D.}$ $a>1$.
设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^p n}$ 与积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cos x}(\sqrt{\sin x})^p}(p>0)$ 均收玫, 则
$\text{A.}$ $1 < p < 2$.
$\text{B.}$ $0 < p \leqslant 2$.
$\text{C.}$ $0 < p < 1$.
$\text{D.}$ $1 \leqslant p \leqslant 2$.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{D.}$ $\gamma, \alpha, \beta$.
设常数 $a>0$, 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $\ln x \leqslant x^a$, 则
$\text{A.}$ $a \geqslant \mathrm{e}$.
$\text{B.}$ $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ $0 < a < $ e.
$\text{D.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\cos ^n x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内的原 函数, 则在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内
$\text{A.}$ $F(x)$ 连续, $f(x)$ 可导.
$\text{B.}$ $F(x)$ 不连续, $f(x)$ 不可导.
$\text{C.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 可导.
$\text{D.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 不可导.
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $m>-2$ 且 $n-m>1$.
$\text{B.}$ $m>0$ 且 $n-m>1$.
$\text{C.}$ $m>0$ 且 $n-m < 1$.
$\text{D.}$ $m>-2$ 且 $n-m < 1$.
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta x} \cos q x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=q^2$.
$\text{B.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=p^2+q^2$.
$\text{C.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{p}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{1}{p^2+q^2}$.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
设常数 $\alpha>0, \beta>0$, 若反常积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{1}{(-\cos x)^\alpha(1+\cos x)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < 1$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$.
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=1, b=1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $k>1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{k n}+(-1)^n}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 的取值有关.
设 $f(x)=\int_0^{\sqrt{1+x}-1} \ln (1+t) \mathrm{d} t, g(x)=\int_0^{\sqrt{x}} \arcsin t \mathrm{~d} t$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，下列结论正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶的无穷小，但不等价
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小
若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则下列级数 (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)$; (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 中一定收敛的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=12, n=4$
$\text{B.}$ $a=12, n=3$
$\text{C.}$ $a=6, n=4$
$\text{D.}$ $a=6, n=3$