单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若不等式 $\ln x-a x^2 \leq 0$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $a < \frac{1}{2 \mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $a>\frac{1}{2 \mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $a \leq \frac{1}{2 \mathrm{e}}$
$\text{D.}$ $a \geq \frac{1}{2 \mathrm{e}}$
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{2} a x^2-2 x$ 存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(-\infty,-1)$
$\text{B.}$ $(-1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $(1,+\infty)$
已知 $f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数, $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $f^{\prime}(x) \geq \cos x$ 恒成立, 则 $f(x) \geq \sin x$ 的解集为 ( )
$\text{A.}$ $[-\pi,+\infty)$
$\text{B.}$ $[\pi,+\infty)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\pi}{2},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $[0,+\infty)$
已知 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty, 0) \mathrm{U}(0,+\infty)$ 上的奇函数, 若对于任意的 $x \in(0,+\infty)$, 都有 $2 f(x)+x f^{\prime}(x)>0$ 成立,且 $f(2)=\frac{1}{2}$, 则不等式 $f(x)-\frac{2}{x^2}>0$ 解集为 ( )
c. $(0,2)$
$\text{A.}$ $(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-2,0) \cup(0,2)$
$\text{C.}$ $(-2,0) \cup(2,+\infty)$
若关于 $x$ 的不等式 $(\mathrm{e}-1)(\ln a+x) \geq a \mathrm{e}^x-1$ 在 $x \in[0,1]$ 内有解, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( $\quad$ )
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \mathrm{e}\right]$
设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x \quad(a \leq 2)$, 函数 $g(x)=x-\ln x-\frac{1}{\mathrm{e}}$, 若在 $[1, \mathrm{e}]$ 上存在 $x_1, x_2$ 使 $f\left(x_1\right)>g\left(x_2\right)$ 成立,则实数 $a$ 的取值范围为 ( )
$\text{A.}$ $(-\infty, e-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty, \mathrm{e}-1)$
$\text{C.}$ $(e-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[e-1,+\infty)$
若关于 $x$ 的不等式 $\mathrm{e}^x(3 k-x) < 2 x+3$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 则整数 $k$ 的最大值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=e^{m x}-\frac{1}{m} \ln x$, 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$ 恒成立, 则 $m$ 的取值范围为 ( )
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $(e,+\infty)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{e}, e\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列不等式正确的是（）
$\text{A.}$ 当 $x \in \mathbf{R}$ 时, $e^x \geq x+1$
$\text{B.}$ 当 $x>0$ 时, $\ln x \leq x-1$
$\text{C.}$ 当 $x \in \mathbf{R}$ 时, $e^x \geq e x$
$\text{D.}$ 当 $x \in \mathbf{R}$ 时, $x \geq \sin x$
已知偶函数 $y=f(x)$ 满足 $\cos x \cdot f^{\prime}(x)-\sin x \cdot f(x)>0$ 对 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 恒成立，下列正确的是（）
$\text{A.}$ $\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{4}\right) < f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$\text{B.}$ $f\left(\frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{6}}{2} f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $f\left(\frac{\pi}{6}\right) < \frac{\sqrt{3}}{3} f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\sqrt{2} f(0)>f\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{4}+\frac{3}{4 x}, g(x)=-x^2-2 a x+4$, 若 $\forall x_1 \in(0,2], \exists x_2 \in[1,2]$, 使得 $f\left(x_1\right) \geq g\left(x_2\right)$ 成立, 则 $a$的取值可以是（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $-\frac{1}{8}$
已知 $f(x)=a \ln x+x(a>0)$, 当 $x \geq 1$ 时, 存在 $b, c \in \mathrm{R}$, 使得 $f(x) \leq b x+c \leq x^2$ 成立, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $a \in(0,1]$
$\text{B.}$ $b \in(1,2]$
$\text{C.}$ $c \in[-1,0)$
$\text{D.}$ $a+b+c>2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^x-\frac{1}{2} x^2-x$, 若 $f(x)$ 在 R 上单调递增, 则实数 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\ln x+a x^2$, 若对任意两个不等的正实数 $x_1, x_2$, 都有 $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>2$, 则实数 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\frac{x}{\ln x}, g(x)=\frac{x}{x^2-\mathrm{e} x+\mathrm{e}^2}$, 若 $\forall x \in(1,+\infty)$,使得 $(t+1) \cdot g(x) \leq t \cdot f(x)(t>0)$ 成立, 则 $t$ 的取值范围是
若 $\forall x>0, x \mathrm{e}^{x-1} \geq x+\ln x+m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围是