设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x \quad(a \leq 2)$, 函数 $g(x)=x-\ln x-\frac{1}{\mathrm{e}}$, 若在 $[1, \mathrm{e}]$ 上存在 $x_1, x_2$ 使 $f\left(x_1\right)>g\left(x_2\right)$ 成立,则实数 $a$ 的取值范围为 ( )
$\text{A.}$ $(-\infty, e-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty, \mathrm{e}-1)$
$\text{C.}$ $(e-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[e-1,+\infty)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$