单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{x-1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{-1}^0 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$+ $ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r $+ $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
若函数 $\int_{-\pi}^\pi\left(x-a_1 \cos x-b_1 \sin x\right)^2 \mathrm{~d} x$
$$
=\min _{a, b \in \mathrm{R}}\left\{\int_{-\pi}^\pi(x-a \cos x-b \sin x)^2 \mathrm{~d} x\right\} \text {, }
$$
则 $a_1 \cos x+b_1 \sin x=$
$\text{A.}$ $2 \sin x$
$\text{B.}$ $2 \cos x$
$\text{C.}$ $2 \pi \sin x$
$\text{D.}$ $2 \pi \cos x$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P(B)=0.5$ ， $P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在， $X_1$ 与 $X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ ， 随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}\left[f_1(y)+f_z(y)\right]$ ，随机变量
$$
Y_2=\frac{1}{2}\left(X_1+X_2\right)
$$ 则
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)=D\left(Y_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right) < D\left(Y_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲面 $z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$ 在点 $(1,0,1)$ 处的切平面方程为
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime}(x)=2(x-1)$ ， $x \in[0,2]$ ，则 $f(7)=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=e^3$的解为 $y=$
设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$轴正方向往 $z$ 轴负方向看是逆时针方向，则曲线积分
$$
\oint_L z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=
$$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{2 x}{3 \theta^2}, & < x < 2 \theta \\
0 & \text {, 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\boldsymbol{\theta}$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $c \sum_{i=1}^n \boldsymbol{X}_i^2$ 是 $\theta^2$ 的无偏估计，则常数 $c=$ $\qquad$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(e^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^3+x y^2+x^2 y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数， $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\left(4 z+e^x \cos y\right) e^{2 x}
$$
若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式.
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^2+y^2(z \leq 1)$ 的上侧，计算曲面积分:
$$
I=\iint_{\Sigma}(x-1)^3 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y-1)^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $0 < a_n < \frac{\pi}{2} ， 0 < b_n < \frac{\pi}{2}$ ， $\cos a_n-a_n=\cos b_n$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ；
(2) 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}$ 收敛.
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $B$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似。
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
在给定 $X=i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, i)$ $(i=1,2)$.
(1) 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
(2) 求期望 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})$.
设总体 $X$ 的分布函数为
$$
\boldsymbol{F}(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x \geq 0 \\
0, & x < 0
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知的大于零的参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $\boldsymbol{X}$ 的简单随机样本.
(1) 求 $E(X)$ 与 $E\left(X^2\right)$ ；
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_n$.
(3) 是否存在常数 $a$ ，使得对任意的 $\varepsilon>0$ ，都有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta}_n-a\right| \geq \varepsilon\right\}=0 \text { ? }
$$