2012年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

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2012年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 曲线

y = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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2. 设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

A.

(- 1)^{n - 1} (n - 1)

B.

(- 1)^{n} (n - 1)

C.

(- 1)^{n - 1} n

D.

(- 1)^{n} n

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3. 设函数

f (t)

连续, 则二次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2 \cos θ}^{2} f (r^{2}) r d r =

A.

\int_{0}^{2} d x \int_{\sqrt{2 x - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d y

B.

\int_{0}^{2} d x \int_{\sqrt{2 x - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} f (x^{2} + y^{2}) d y

C.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d x

D.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} f (x^{2} + y^{2}) d x

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4. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^{α}}

绝对收敛，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2 - α}}

条件收敛，则

A.

0 < α \leq \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2} < α \leq 1

C.

1 < α \leq \frac{3}{2}

D.

\frac{3}{2} < α < 2

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5. 设

α_{1} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ c_{1} \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ c_{2} \end{array}), α_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ c_{3} \end{matrix}), α_{4} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ c_{4} \end{matrix})

, 其中

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

为任意常数，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}, α_{4}

C.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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6. 设

A

为 3 阶矩阵，

P

为 3 阶可逆矩阵，且

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) ，若 P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) ，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{- 1} A Q =

A.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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7. 设随机变量

X

与

Y

相互独立，且都服从区间

(0, 1)

上的均匀分布，则

P {x^{2} + y^{2} \leq 1} =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{π}{8}

D.

\frac{π}{4}

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8. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

为来自总体

N (1, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本，则统计量

\frac{X_{1} - X_{2}}{| X_{3} + X_{4} - 2 |}

的分布为

A.

N (0, 1)

B.

t (1)

C.

χ^{2} (1)

D.

F (1, 1)

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to \frac{π}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}} =

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10. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \ln \sqrt{x}, & x \geq 1 \\ 2 x - 1, & x < 1 \end{cases}, y = f [f (x)]

，则

{\frac{d y}{d x} |}_{x = e} =

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11. 设连续函数

z = f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - 2 x + y - 2}{\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}} = 0 ，

则

{d z |}_{(0, 1)} =

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12. 由曲线

y = \frac{4}{x}

和直线

y = x

及

y = 4 x

在第一象限中围成的平面图形的面积为

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13. 设

A

为 3 阶矩阵，

| A | = 3 ， A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若交换

A

的第 1 行与第 2 行得矩阵

B

，则

| B A^{*} | =

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14. 设

A, B, C

是随机事件，

A

与

C

互不相容，

P (A B) = \frac{1}{2}

，

P (C) = \frac{1}{3}

, 则

P (A B ∣ \bar{C}) =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2 \cos x}}{x^{4}}

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16. 计算二重积分

\iint_{D} e^{x} x y d x d y

，其中

D

是以曲线

y = \sqrt{x}, y = \frac{1}{\sqrt{x}}

及

y

轴为边界的无界区域.

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17. 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 (万元). 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为

x

(件)和

y

(件)，且这两种产品的边际成本分别为

20 + \frac{x}{2}

(万元

/

件)与

6 + y

(万元

/

件).
(1) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数

C (x, y)

(万元)；
(2) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本；
(3) 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

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18. 证明:

x \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \cos x \geq 1 + \frac{x^{2}}{2} (- 1 < x < 1)

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19. 已知函数

f (x)

满足方程

f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0

及

f^{''} (x) + f (x) = 2 e^{x},

(1) 求

f (x)

的表达式;
(2) 求曲线

y = f (x^{2}) \int_{0}^{x} f (- t^{2}) d t

的拐点.

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20. 设

A = (\begin{array}{llll} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1 \end{array}) ， β = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

.
(1) 计算行列式

| A |

;
(2) 当实数

a

为何值时，

A x = β

有无穷多解，并并其通解.

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21. 已知

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & a \\ 0 & a & - 1 \end{array})

, 二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} (A^{T} A) x

的秩为 2 .
(1) 求实数

a

的值;
(2) 求正交变换

x = Q y

将

f

化为标准形.

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22. 设二维离散型随机变量

(X, Y)

的概率分布为

(1) 求

P {X = 2 Y}

；
(2) 求

Cov (X - Y, Y)

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23. 设随机变量

X

与

Y

相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布. 记

U = max {X, Y}, V = min {X, Y}

.
(1) 求

V

的概率密度

f_{V} (v)

;
(2) 求

E (U + V)

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