单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)$ !
$\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)$ !
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n$ !
$\text{D.}$ $(-1)^n n$ !
设函数 $f(t)$ 连续, 则二次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{2 \cos \theta}^2 f\left(r^2\right) r \mathrm{~d} r=$
$\text{A.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-\alpha}}$条件收敛，则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leq \frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$, 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right) \text { ，若 } P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) \text { ， }
$$
$Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{x^2+y^2 \leq 1\right\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|}$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $t(1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(1)$
$\text{D.}$ ${F}(\mathbf{1}, \mathbf{1})$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x}, & x \geq 1 \\ 2 x-1, & x < 1\end{array}, y=f[f(x)]\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=e}=$
设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足
$$
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}=0 ，
$$
则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $|A|=3 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B$ ，则 $\left|B A^*\right|=$
设 $A, B, C$ 是随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P(A B)=\frac{1}{2}$ ， $P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A B \mid \bar{C})=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{2-2 \cos x}}{x^4}$.
计算二重积分 $\iint_D e^x x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以曲线 $y=\sqrt{x}, y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 及 $y$ 轴为边界的无界区域.
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000 (万元). 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $x$ (件)和 $y$ (件)，且这两种产品的边际成本分别为 $20+\frac{x}{2}$ (万元 $/$ 件)与 $6+y$ (万元 $/$ 件).
(1) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $C(x, y)$ (万元)；
(2) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本；
(3) 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及
$$
f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x,
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f\left(x^2\right) \int_0^x f\left(-t^2\right) \mathrm{d} t$ 的拐点.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|A|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时， $A x=\beta$ 有无穷多解，并并其通解.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$, 二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T\left(A^T A\right) x
$$
的秩为 2 .
(1) 求实数 $a$ 的值;
(2) 求正交变换 $x=Q y$ 将 $f$ 化为标准形.
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
(1) 求 $P\{X=2 Y\}$ ；
(2) 求 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布. 记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$.
(1) 求 $V$ 的概率密度 $f_{\mathrm{V}}(v)$;
(2) 求 $E(U+V)$.