单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数)，过第 2 象限内的点 $M$ 和第 4 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是
$\text{A.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$
$\text{D.}$ $\int_{\Gamma} f_x^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_y^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$, 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_X(x), f_Y(y)$ 分别表示 $X ， Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$
$\text{B.}$ $f_Y(y)$
$\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$
$\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_1^2 \frac{1}{x^3} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $f(u, v)$ 为二元可微函数， $z=f\left(x^y, y^x\right)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
设曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，则
$$
\oint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小干 $\frac{1}{2}$ 的概率为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^2+2 y^2-x^2 y^2$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, y \geq 0\right\}
$$
上的最大值和最小值。
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0 \leq z \leq 1)$ 的上侧.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值， $f(a)=g(a), f(b)=g(b)$. 证明:存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$.
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1$.
(1) 证明: $a_{n+2}=\frac{2}{n+1} a_n, n=1,2, \cdots$
(2) 求 $y(x)$ 的表达式.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记
$$
B=A^5-4 A^3+E,
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量；
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}
2-x-y, 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $P\{X>2 Y\}$ ；
(2) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{2 \theta}, & 0 < x < \theta \\ \frac{1}{2(1-\theta)}, & \theta \leq x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\theta(0 < \theta < 1)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值.
(1) 求参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 判断 $4 \bar{X}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计量，并说明理由.