设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
A. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
B. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
C. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
D. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在