单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \Delta x$为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, $\Delta y$ 与 $\mathrm{d} y$ 分别为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处对应的增量与微分，若 $\Delta x>0$ ，则
$\text{A.}$ $0 < \mathrm{d} y < \Delta y$
$\text{B.}$ $0 < \Delta y < \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\Delta y < \mathbf{d} y < 0$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} y < \Delta y < 0$
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则
$$
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \text { 等于 }
$$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}(x, y) \neq 0$ ，已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均为 $n$ 维列向量, $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性无关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 线性相关.
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_s$ 转性无关.
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A} {P}$
$\text{D.}$ ${C}={P A} {P}^T$
设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(B)>0, P(A \mid B)=1$ ，则必有
$\text{A.}$ $P(A \cup B)>P(A)$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)>P(B)$
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(B)$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right) ， Y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，且 $P\left\{\left|X-\mu_1\right| < 1\right\}>P\left\{\left|Y-\mu_2\right| < 1\right\}$,则必有
$\text{A.}$ $\sigma_1 < \sigma_2$
$\text{B.}$ $\sigma_1>\sigma_2$
$\text{C.}$ $\mu_1 < \mu_2$
$\text{D.}$ $\mu_1>\mu_2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离 $d=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max \{X, Y\} \leq 1\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) .$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求之.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数.
设 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
(1) 验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
设在上半平面 $D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，数 $f(x, y)$ 是有连续偏导数，且对任意的 $t>0$ 都有 $f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$.
证明：对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ ，都有
$$
\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0
$$
已知 非齐次线性方程组$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=-1 \\
4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=-1 \\
a x_1+x_2+3 x_3+b x_4=1
\end{array}\right. \text { ， }
$$
有 3 个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ；
(2) 求 $a, b$ 的值及方程组的通解.
设三阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 3 , 向量 $\alpha_1=(-1,2,-1)^T, \alpha_2=(0,-1,1)^T$ 是线性 方程 组 $A x=0$ 的两个解.
(1) 求 $A$ 的特征值与特征向量
(2) 求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $Q^T A Q=\Lambda$.
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 2,-1 < x < 0 \\
1 / 4,0 \leq x < 2 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令 $Y=X^2 ， F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
(1) 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$;
(2) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{lc}
\theta, & 0 < x < 1 \\
1-\theta, 1 \leq x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0 < \theta < 1) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_1, x_2 \ldots, x_n$ 中小于 1 的个数，求 $\theta$ 的最大似然估计.