单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小
$\text{B.}$ 无穷大
$\text{C.}$ 有界的，但不是无穷小量
$\text{D.}$ 无界的，但不是无穷大
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left\lvert\, \frac{x^2-1 \mid}{x-1}\right., & x \neq 1 \\ 2, & x=1\end{array}\right.$, 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但不可导
$\text{C.}$ 可导，但导数不连续
$\text{D.}$ 可导，且导数连续
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$ ，设
$$
F(x)=\int_1^x f(t) \mathrm{d} t(0 \leq x \leq 2) ，
$$
则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x-1,1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3} & 0 \leq x < 1 \\ x-1 & 1 \leq x \leq 2\end{cases}$
设常数 $k>0$ ，函数 $f(x)=\ln (x)-\frac{x}{e}+k$ 在 $(0,+\infty)$ 内零点个数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
若 $f(x)=-f(-x)$ 且 在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=$
函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin \left(x^2+y^2\right)+e^x-x y^2=0$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
函数 $\boldsymbol{F}(x)=\int_1^x\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t(x>0)$ 的单调减少区间为
$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~d} x=$
已知曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 且其上任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $x \ln \left(1+x^2\right)$, 则 $f(x)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=\sin \left[f\left(x^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
求 $\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right)$.
求 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$.
求 $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^3} \mathrm{~d} x$.
求微分方程 $\left(x^2-1\right) \mathrm{d} y+(2 x y-\cos x) \mathrm{d} x=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 的特解.
设二阶常系数线性微分方程
$$
y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^x
$$
的一个特解为 $y=e^{2 x}+(1+x) e^x$ ，试确定常数 $\alpha, \beta, \gamma$ 的值，并求该方程的通解.
设平面图形 $A$ 由 $x^2+y^2 \leq 2 x$ 与 $y \geq x$ 所确定，求图形 $A$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.
作半径为 $r$ 的球的外切正圆椎，问此圆椎的高 $h$ 为何值时，其体积 $\boldsymbol{V}$ 最小，并求出该最小值.
设 $x>0$ ，常数 $a>e$ ，证明： $(a+x)^a < a^{a+x}$.
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，且 $f(0)=0$ ，证明:
$$
\left|\int_0^a f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M a^2}{2} \text { ，其中 } M=\max _{0 \leq x \leq a}\left|f^{\prime}(x)\right| \text {. }
$$