记集合 $S=\left\{\left\{a_n\right\} \mid\right.$ 无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 中存在有限项不为零, $\left.n \in \mathbf{N}^*\right\}$, 对任意 $\left\{a_n\right\} \in S$, 设变换 $f\left(\left\{a_n\right\}\right)=a_1+a_2 x+\cdots+a_n x^{n-1}+\cdots, x \in \mathbf{R}$. 定义运算 $\otimes:$ 若 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\} \in S$, 则 $\left\{a_n\right\} \otimes\left\{b_n\right\}$ $\in S, f\left(\left\{a_n\right\} \otimes\left\{b_n\right\}\right)=f\left(\left\{a_n\right\}\right) \cdot f\left(\left\{b_n\right\}\right)$.
(1) 若 $\left\{a_n\right\} \otimes\left\{b_n\right\}=\left\{m_n\right\}$, 用 $a_1, a_2, a_3, a_4, b_1, b_2, b_3, b_4$ 表示 $m_4$;
(2) 证明: $\left(\left\{a_n\right\} \otimes\left\{b_n\right\}\right) \otimes\left\{c_n\right\}=\left\{a_n\right\} \otimes\left(\left\{b_n\right\} \otimes\left\{c_n\right\}\right)$;
(3) 若 $a_n=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(n+1)^2+1}{n(n+1)}, & 1 \leqslant n \leqslant 100 \\ 0, & n>100\end{array}, b_n=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac{1}{2}\right)^{203-n}, & 1 \leqslant n \leqslant 500 \\ 0, & n>500\end{array},\left\{d_n\right\}=\left\{a_n\right\} \otimes\left\{b_n\right\}\right.\right.$,
证明: $d_{200} < \frac{1}{2}$.

已知各项均不为 0 的递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=2, a_2=4, a_n a_{n+1}=$ $2 S_n\left(S_{n+1}+S_{n-1}-2 S_n\right)\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$, 且 $\left.n \geqslant 2\right)$.
(1) 求数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$;
(2) 定义首项为 2 且公比大于 1 的等比数列为 “ $G-$ 数列”. 证明:
(1)对任意 $k \leqslant 5$ 且 $k \in \mathbf{N}^*$, 存在 “ $G-$ 数列” $\left\{b_n\right\}$, 使得 $b_k \leqslant a_k \leqslant b_{k+1}$ 成立;
(2)当 $k \geqslant 6$ 且 $k \in \mathbf{N}^*$ 时, 不存在 “ $G-$ 数列” $\left\{c_n\right\}$, 使得 $c_m \leqslant a_m \leqslant c_{m+1}$ 对任意正整数 $m \leqslant k$ 成立.

若有穷数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ( $n$ 是正整数), 满足 $a_i=a_{n-i+1}(\mathrm{i} \in N$, 且 $1 \leqslant \mathrm{i} \leqslant n)$, 就称该数列为 “ $S$ 数列”.
(1) 已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 7 的 $S$ 数列, 且 $b_1, b_2, b_3, b_4$ 成等比数列, $b_1=2, b_3=8$, 试写出 $\left\{b_n\right\}$ 的每一项;
(2) 已知 $\left\{c_n\right\}$ 是项数为 $2 k+1(k \geqslant 1)$ 的 $S$ 数列, 且 $c_{k+1}, c_{k+2}, \cdots, c_{2 k+1}$ 构成首项为 100 , 公差为 -4 的等差数列, 数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $2 k+1$ 项和为 $S_{2 k+1}$, 则当 $k$ 为何值时, $S_{2 k+1}$ 取到最大值? 最大值为多少?
(3) 对于给定的正整数 $m>1$, 试写出所有项数不超过 $2 m$ 的 $S$ 数列, 使得 $1,2,2^2, \cdots, 2^{m-1}$ 成为数列中的连续项; 当 $m>1500$ 时, 试求这些 $S$ 数列的前 2024 项和 $S_{2024}$.

已知实数 $q \neq 0$, 定义数列 $\left\{a_n\right\}$ 如下: 如果 $n=x_0+2 x_1+2^2 x_2+\cdots+2^k x_k, x_i \in$ $\{0,1\}, i=0,1,2, \cdots, k$, 则 $a_n=x_0+x_1 q+x_2 q^2+\cdots+x_k q^k$.
(1) 求 $a_7$ 和 $a_8$ (用 $q$ 表示);
(2) 令 $b_n=a_{2^{n-1}}$, 证明: $\sum_{i=1}^n b_i=a_{2^n-1}$;
(3) 若 $1 < q < 2$, 证明: 对于任意正整数 $n$, 存在正整数 $m$,使得 $a_n < a_m \leqslant a_n+1$.

定义两个 $n$ 维向量 $a_i=\left(x_{i, 1}, x_{i, 2}, \cdots, x_{i, n}\right), a_j=\left(x_{j, 1}, x_{j, 2}, \cdots, x_{j, n}\right)$ 的数量积 $a_i \cdot a_j$ $=x_{i, 1} x_{j, 1}+x_{i, 2} x_{j, 2}+\cdots+x_{i, n} x_{j, n}\left(\mathrm{i}, j \in N_{+}\right), a_i{ }^* a_i=a_i^2$, 记 $x_{i, k}$ 为 $a_i$ 的第 $k$ 个分量 $\left(k \leqslant n\right.$ 且 $\left.k \in N_{+}\right)$. 如三维向量 $\overrightarrow{a_1}=(2,1,5)$, 其中 $\overrightarrow{a_1}$ 的第 2 分量 $\overrightarrow{a_{1,2}}=1$. 若由 $n$ 维向量组成的集合 $A$ 满足以下三个条件: (1)集合中含有 $n$个 $n$ 维向量作为元素; (2)集合中每个元素的所有分量取 0 或 1;(3)集合中任意两个元素 $a_i, a_j$, 满足 $a_i^2=a_j^2=$ $T$ ( $T$ 为常数) 且 $a_i \cdot a_j=1$. 则称 $A$ 为 $T$ 的完美 $n$ 维向量集.
(1) 求 2 的完美 3 维向量集;
(2) 判断是否存在完美 4 维向量集,并说明理由;
(3) 若存在 $A$ 为 $T$ 的完美 $n$ 维向量集, 求证: $A$ 的所有元素的第 $k$ 分量和 $S_k=T$.

对于数列 $\left\{a_n\right\}$, 称 $P\left(a_k\right)=\frac{1}{k-1}\left(\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+\cdots+\left|a_{k-1}-a_k\right|\right)$ (其中 $k \geqslant$ $2, k \in N)$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $k$ 项 “波动均值”. 若对任意的 $k \geqslant 2, k \in N$, 都有 $P\left(a_{k+1}\right) < P\left(a_k\right)$, 则称数列 $\left\{a_n\right\}$为 “趋稳数列”.
(1) 若数列 $1, x, 2$ 为 “趋稳数列”, 求 $x$ 的取值范围;
(2) 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$, 且 $a_1>0, d>0$, 其前 $n$ 项和记为 $S_n$, 试计算: $C_n^2 P\left(S_2\right)+C_n^3 P\left(S_3\right)+\cdots$ $+C_n^n P\left(S_n\right)(n \geqslant 2, n \in N)$;
(3) 若各项均为正数的等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比 $q \in(0,1)$, 求证: $\left\{b_n\right\}$ 是 “趋稳数列”.

在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, 任何一个平面的方程都能表示成 $A x+B y+$ $C z+D=0$, 其中 $A, B, C, D \in \mathbf{R}, A^2+B^2+C^2 \neq 0$, 且 $\vec{n}=(A, B, C)$ 为该平面的法向量. 已知集合 $P=$
$$
\begin{aligned}
& \{(x, y, z)|| x|\leqslant 1,| y|\leqslant 1,| z \mid \leqslant 1\}, Q=\{(x, y, z)|| x|+| y|+| z \mid \leqslant 2\}, T= \\
& \{(x, y, z)|| x|+| y|\leqslant 2,| y|+| z|\leqslant 2,| z|+| x \mid \leqslant 2\} .
\end{aligned}
$$
(1) 设集合 $M=\{(x, y, z) \mid z=0\}$, 记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_1, Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_2$, 求 $S_1$ 和 $S_2$ 的值;
（2）记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_1, P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_2$, 求 $V_1$ 和 $V_2$ 的值:
(3) 记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$.
①求 $W$ 的体积 $V_3$ 的值;
②求 $W$ 的相邻 (有公共棱) 两个面所成二面角的大小, 并指出 $W$ 的面数和棱数.