已知各项均不为 0 的递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=2, a_2=4, a_n a_{n+1}=$ $2 S_n\left(S_{n+1}+S_{n-1}-2 S_n\right)\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$, 且 $\left.n \geqslant 2\right)$.
(1) 求数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$;
(2) 定义首项为 2 且公比大于 1 的等比数列为 “ $G-$ 数列”. 证明:
(1)对任意 $k \leqslant 5$ 且 $k \in \mathbf{N}^*$, 存在 “ $G-$ 数列” $\left\{b_n\right\}$, 使得 $b_k \leqslant a_k \leqslant b_{k+1}$ 成立;
(2)当 $k \geqslant 6$ 且 $k \in \mathbf{N}^*$ 时, 不存在 “ $G-$ 数列” $\left\{c_n\right\}$, 使得 $c_m \leqslant a_m \leqslant c_{m+1}$ 对任意正整数 $m \leqslant k$ 成立.