已知实数 $q \neq 0$, 定义数列 $\left\{a_n\right\}$ 如下: 如果 $n=x_0+2 x_1+2^2 x_2+\cdots+2^k x_k, x_i \in$ $\{0,1\}, i=0,1,2, \cdots, k$, 则 $a_n=x_0+x_1 q+x_2 q^2+\cdots+x_k q^k$.
(1) 求 $a_7$ 和 $a_8$ (用 $q$ 表示);
(2) 令 $b_n=a_{2^{n-1}}$, 证明: $\sum_{i=1}^n b_i=a_{2^n-1}$;
(3) 若 $1 < q < 2$, 证明: 对于任意正整数 $n$, 存在正整数 $m$,使得 $a_n < a_m \leqslant a_n+1$.