定义两个 $n$ 维向量 $a_i=\left(x_{i, 1}, x_{i, 2}, \cdots, x_{i, n}\right), a_j=\left(x_{j, 1}, x_{j, 2}, \cdots, x_{j, n}\right)$ 的数量积 $a_i \cdot a_j$ $=x_{i, 1} x_{j, 1}+x_{i, 2} x_{j, 2}+\cdots+x_{i, n} x_{j, n}\left(\mathrm{i}, j \in N_{+}\right), a_i{ }^* a_i=a_i^2$, 记 $x_{i, k}$ 为 $a_i$ 的第 $k$ 个分量 $\left(k \leqslant n\right.$ 且 $\left.k \in N_{+}\right)$. 如三维向量 $\overrightarrow{a_1}=(2,1,5)$, 其中 $\overrightarrow{a_1}$ 的第 2 分量 $\overrightarrow{a_{1,2}}=1$. 若由 $n$ 维向量组成的集合 $A$ 满足以下三个条件: (1)集合中含有 $n$个 $n$ 维向量作为元素; (2)集合中每个元素的所有分量取 0 或 1;(3)集合中任意两个元素 $a_i, a_j$, 满足 $a_i^2=a_j^2=$ $T$ ( $T$ 为常数) 且 $a_i \cdot a_j=1$. 则称 $A$ 为 $T$ 的完美 $n$ 维向量集.
(1) 求 2 的完美 3 维向量集;
(2) 判断是否存在完美 4 维向量集,并说明理由;
(3) 若存在 $A$ 为 $T$ 的完美 $n$ 维向量集, 求证: $A$ 的所有元素的第 $k$ 分量和 $S_k=T$.