南京师范大学附属中学2024学年高三期中适应性考试数学试题

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南京师范大学附属中学2024学年高三期中适应性考试数学试题

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 已知实数

a > 0, b < 0

, 则

\frac{\sqrt{3} b - a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

的取值范围是

A.

[- 2, - 1)

B.

(- 2, - 1)

C.

(- 2 . - 1]

D.

[- 2, - 1]

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2. 函数

f (x)

的定义域为

R

, 且

f (2 x + 1)

为偶函数,

f (x) = f (x + 1) - f (x + 2)

, 若

f (1) = 2

, 则

f (18) =

A.

B.

C.

-1

D.

-2

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3. 已知

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 11, f (x)

的一条切线

g (x) = k x + b

与

f (x)

有且仅有一个交点, 则

A.

k = - 3, b = 3

B.

k = - 3, b = - 3

C.

k = 3, b = 3

D.

k = 3, b = - 3

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4. 有很多立体图形都体现了数学的对称美, 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体, 半正多面体因其最早由阿基米德研究发现, 故也被称作阿基米德体.如图, 这是一个棱数为 24 , 棱长为

\sqrt{2}

的半正多面体, 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点

E

为线段

B C

上的动点, 则直线

D E

与直线

A F

所成角的余弦值的取值范围为

A.

[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

B.

[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

C.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

D.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

5. 已知事件

A, B

满足

P (A) = 0.5, P (B) = 0.2

, 则

A.

若

B \subseteq A

, 则

P (A B) = 0.5

B.

若

A

与

B

互斥, 则

P (A + B) = 0.7

C.

若

A

与

B

相互独立, 则

P (A \bar{B}) = 0.9

D.

若

P (B ∣ A) = 0.2

, 则

A

与

B

相互独立

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6. 已知随机变量

X

的概率密度函数为

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} a} e^{- \frac{(x - b)^{2}}{2 a^{2}}} (a > 0, b > 0)

, 且

φ (x)

的极大值点为

x = 2 a

,记

f (k) = P (X < k), g (k) = P (X > k + a)

, 则

A.

X \sim N (b, a)

B.

X \sim N (2 a, a^{2})

C.

f (a) = g (2 a)

D.

f (2 a) + g (2 a) = f (a) + g (a)

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三、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出, 后被拉格朗日等数学家证明. 四平方和定理的内容是: 任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和, 例如正整数

12 = 3^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 0^{2}

. 设

25 = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

, 其中

a, b, c, d

均为自然数, 则满足条件的有序数组

(a, b, c, d)

的个数是

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8. 三个元件

a, b, c

独立正常工作的概率分别是

P_{1}, P_{2}

P_{3} (0 < P_{1} < P_{2} < P_{3} < 1)

, 把它们随意接入如图所示电路的三个盒

T_{1}, T_{2}, T_{3}

中 (一盒接一个元件), 各种连接方法中, 此电路工作的最大概率是

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四、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 已知数列

{a_{n}}, {b_{n}}

满足

a_{1} = - 2 b_{1} = 4

, 且

{a_{n}}

是公差为 1 的等差数列,

{a_{n} + b_{n}}

是公比为 2 的等比数列.
(1) 求

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 求

{| b_{n} |}

的㷙

n

项和

T_{n}

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10. 某百科知识竞答比赛的半决赛阶段, 每两人一组进行

P K

, 胜者晋级决赛, 败者终止比赛. 比赛最多有三局, 第一局限时答题, 第二局快问快答, 第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题, 依据答对题目数量, 答对多者获胜, 比赛结束, 答对数量相等视为平局, 则需进入快问快答局; 若快问快答平局, 则需进入抢答局, 两人进行抢答, 抢答没有平局. 已知甲、乙两位选手在半决赛相遇, 且在与乙选手的比赛中, 甲限时答题局获胜与平局的概率分别为

\frac{1}{3}, \frac{1}{2}

, 快问快答局获胜与平局的概率分别为

\frac{1}{3}, \frac{1}{6}

, 抢答局获胜的概率为

\frac{1}{3}

, 且各局比赛相互独立.
(1) 求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率;
(2) 知乙最后晋级决赛, 但不知甲、乙两人经过几局比赛, 求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

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11. 已知

F_{1} (- \sqrt{6}, 0), F_{2} (\sqrt{6}, 0)

为双曲线

C

的焦点, 点

P (2, - 1)

在

C

上.
(1)求

C

的方程;
(2) 点

A, B

在

C

上, 直线

P A, P B

与

y

轴分别相交于

M, N

两点, 点

Q

在直线

A B

上, 若

\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{0}

\vec{P Q} \cdot \vec{A B} = 0

, 是否存在定点

T

, 使得

| Q T |

为定值? 若有, 请求出该定点及定值; 若没有, 请说明理由。

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12. 已知函数

f (x) = x + k \sin x

, 其中

0 < k \leq 1

.
(1) 设函数

g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - f (x)

, 证明:
①

g (x)

有且仅有一个极小值点;
②记

x_{0}

是

g (x)

的唯一极小值点, 则

g (x_{0}) < - \frac{1}{2} x_{0}

;
(2) 若

k = 1

, 直线

l

与曲线

y = f (x)

相切, 且有无穷多个切点, 求所有符合上述条件的直线

l

的方程.

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