已知 $F_1(-\sqrt{6}, 0), F_2(\sqrt{6}, 0)$ 为双曲线 $C$ 的焦点, 点 $P(2,-1)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 点 $A, B$ 在 $C$ 上, 直线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点, 点 $Q$ 在直线 $A B$ 上, 若 $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{A B}=0$, 是否存在定点 $T$, 使得 $|Q T|$ 为定值? 若有, 请求出该定点及定值; 若没有, 请说明理由。