单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 结论 ________ 成立
$\text{A.}$ $|A| \neq 0$
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$
$\text{C.}$ $r>n$
$\text{D.}$ $r \leq n$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $A B=A C$, 则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$
$\text{C.}$ 两个同阶对角矩阵是可交换的
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$
下列结论中错误的是
$\text{A.}$ $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性概关;
$\text{B.}$ $n$ 个 $n+1$ 维向量一定线性相关;
$\text{C.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$;
$\text{D.}$ 若 $n$ 个 $n$ 维列向量满足 $\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right|=0$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关.
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=m$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3 \\ 2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 3 c_1 & 3 c_2 & 3 c_3\end{array}\right|=\begin{array}{lll}\end{array}$.
$\text{A.}$ $6 m$
$\text{B.}$ $-6 m$
$\text{C.}$ $2^3 3^3 m$
$\text{D.}$ $-2^3 3^3 m$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, 齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充要条件是.
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组相关
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=-2$, 且 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的, 则 $\left|-3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$
当 $k= $ ________ , $\left\{\begin{array}{l}k x+y+z=0, \\ x+k y+z=0, \\ x+y+k z=0\end{array}\right.$ 有非零解.
已知 $f(x)=1+2 x+x^2$ 及 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & -1\end{array}\right)$, 则 $f(\boldsymbol{A})=$
若 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}|=$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵, $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,3$, 则 $|\boldsymbol{A}|=$.
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}-4 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & -5 & 1\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}5 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{r}0 \\ 2 \\ -6 \\ 3\end{array}\right)$, 求向量组的秩和一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2-3 x_3-x_4=1, \\ 3 x_1-x_2-3 x_3+4 x_4=4, \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4=0,\end{array}\right.$ 求方程组的通解
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 2 & 0 \\ -4 & 1\end{array}\right)$ 求未知矩阵 $\boldsymbol{X}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & a \\ 0 & a & 3\end{array}\right)$ 的三个特征值为 $1,2,5$, 求
(1)正常数 $a$ 的值;
(2)正交变换, 将 $\boldsymbol{A}$ 对应的二次型化为标准形.
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_2=\mathbf{0}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_3=-\boldsymbol{X}_3$, 其中 $\boldsymbol{X}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{X}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$,求(1) $\left|\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}\right|$;
(2)矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^{10}$.
若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是两个 $n$ 阶正交矩阵, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是正交矩阵.