第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试卷参考答案 (数学 A 类, 2022 年)

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第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试卷参考答案 (数学 A 类, 2022 年)

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 在空间直角坐标系中设单叶双曲面

S

的方程为

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1

. 求

S

上所有可能的点

P =

(a, b, c)

, 使得过

P

点且落在

S

上的两条直线均平行于平面

x + y - z = 0

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2. 设

Γ = {{(x_{n}} ∣ x_{n} = 0, 2}

, 即

Γ

为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合. 对于任何

x = {x_{n}} \in Γ

, 令

Π (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}}, f (x) = \underset{n \to + \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} .

证明:
1.

Π

是单射;
2. 集合

Π (Γ)

中的每一点均为

Π (Γ)

的聚点;
3.

f (Γ) = [0, 2]

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3. 设

n \geq 2, A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

为数域

K

上的方阵, 它们的极小多项式两两互素.
证明: 给定数域

K

上的任意多项式

f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x) \in K [x]

, 存在多项式

f (x) \in K [x]

使得对所有

i = 1, 2, \dots, n

有

f (A_{i}) =

f_{i} (A_{i})

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4. 设 3 阶实对称矩阵

A

的三个特征值为

- 1, 1, 1

. 又

A

的与特征值 -1 相对应的一个特征向量为

p = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}), 求 A .

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5. 设

x \in [0, 1], y_{1} = \frac{x}{2}, y_{n + 1} = \frac{x - y_{n}^{2}}{2} (n ⩾

1). 证明:

lim_{n \to + \infty} y_{n}

存在并求其值.

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6. 设

a > 1

. 在

[0, + \infty)

上定义函数

f

f (x) = {\begin{cases} - 1, & x \in [0, a) \\ (- 1)^{k + 1}, & x \in [a^{k}, a^{k + 1}), k ⩾ 1 . \end{cases}

定义

a_{n} = \int_{0}^{n} f (x) d x

. 求

A \equiv {β \in R ∣ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{β}}

绝对收敛

}

以及

B \equiv {β \in R ∣ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{β}}

收敛

}

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