解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在空间直角坐标系中设单叶双曲面 $S$的方程为 $x^2+y^2-z^2=1$. 求 $S$ 上所有可能的点 $P=$ $(a, b, c)$, 使得过 $P$ 点且落在 $S$ 上的两条直线均平行于平面 $x+y-z=0$
设 $\Gamma=\left\{\left\{\left(x_n\right\} \mid x_n=0,2\right\}\right.$, 即 $\Gamma$ 为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合. 对于任何 $x=\left\{x_n\right\} \in \Gamma$, 令
$$
\Pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \quad f(x)=\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$
证明:
1.$ \Pi$ 是单射;
2. 集合 $\Pi(\Gamma)$ 中的每一点均为 $\Pi(\Gamma)$ 的聚点;
3. $f(\Gamma)=[0,2]$.
设 $n \geq 2, A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为数域 $K$ 上的方阵, 它们的极小多项式两两互素.
证明: 给定数域 $K$上的任意多项式 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \in K[x]$, 存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得对所有 $i=1,2, \cdots, n$ 有 $f\left(A_i\right)=$ $f_i\left(A_i\right)$.
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的三个特征值为 $-1,1,1$. 又 $A$ 的与特征值 -1 相对应的一个特征向量为
$$
p=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text {, 求 } A \text {. }
$$
设 $x \in[0,1], y_1=\frac{x}{2}, y_{n+1}=\frac{x-y_n^2}{2}(n \geqslant$ 1). 证明: $\lim _{n \rightarrow+\infty} y_n$ 存在并求其值.
设 $a>1$. 在 $[0,+\infty)$ 上定义函数 $f$ :
$$
f(x)= \begin{cases}-1, & x \in[0, a) \\ (-1)^{k+1}, & x \in\left[a^k, a^{k+1}\right), k \geqslant 1 .\end{cases}
$$
定义 $a_n=\int_0^n f(x) d x$. 求 $A \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\beta}\right.$ 绝对收敛 $\}$ 以及 $B \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\beta}\right.$ 收敛 $\}$.