设 $a>1$. 在 $[0,+\infty)$ 上定义函数 $f$ :
$$
f(x)= \begin{cases}-1, & x \in[0, a) \\ (-1)^{k+1}, & x \in\left[a^k, a^{k+1}\right), k \geqslant 1 .\end{cases}
$$
定义 $a_n=\int_0^n f(x) d x$. 求 $A \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\beta}\right.$ 绝对收敛 $\}$ 以及 $B \equiv\left\{\beta \in \mathbb{R} \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\beta}\right.$ 收敛 $\}$.