设 $\Gamma=\left\{\left\{\left(x_n\right\} \mid x_n=0,2\right\}\right.$, 即 $\Gamma$ 为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合. 对于任何 $x=\left\{x_n\right\} \in \Gamma$, 令
$$
\Pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \quad f(x)=\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$
证明:
1.$ \Pi$ 是单射;
2. 集合 $\Pi(\Gamma)$ 中的每一点均为 $\Pi(\Gamma)$ 的聚点;
3. $f(\Gamma)=[0,2]$.