解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1=2, a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=a, a \in R$. 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=a$.
计算定积分 $\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan \mathrm{e}^x}{1+\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设平面区域 $D$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上投影区间的长度分别为 $l_x$ 和 $l_y, S_D$ 表示平面区域 $D$ 的面积， $(\alpha, \beta)$ 为 $D$ 内任意一点，证明:
(1) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq l_x l_y S_D$ ；
(2) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{l_x^2 l_y^2}{4}$.
设 $\Omega: x^2+y^2+2 z^2 \leq x+y+2 z$, 计算三重积分
$$
I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} V
$$
已知 $S$ 是空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+3 y^2=1, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转生成的椭球面的 上半部分 $(z \geq 0)$ ， 取上侧， $\Pi$ 是 $S$ 在 $P(x, y, z)$ 点处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 是原点到切平面 $\Pi$ 的距离， $\lambda, \mu, v$ 表示 $S$ 的正法向的方 向余弦，计算:
(1) $\iint_S \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$;
(2) $\iint_S z(\lambda x+3 \mu y+v z) \mathrm{d} S$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sin x+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t ，
$$
判定级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 敛散性.